Геометрия
7-9 классы

       

§ 1. Многоугольники

До сих пор в центре нашего внимания был самый простой из многоугольников — треугольник. В этой главе будем изучать более сложные многоугольники, в основном различные виды четырёхугольников: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат. Кроме того, в этой главе речь пойдёт о симметрии геометрических фигур, в том числе указанных четырёхугольников. Симметрия играет важную роль не только в геометрии, но и искусстве, архитектуре, технике. В окружающей обстановке мы видим немало симметричных предметов — фасады зданий, узоры на коврах и тканях, листья деревьев.

Рассмотрим фигуру, составленную из отрезков АВ, ВС, CD, ..., EF, FG так, что смежные отрезки (т. е. отрезки АВ и ВС, ВС и CD, ..., EF и FG) не лежат на одной прямой. Такая фигура называется ломаной ABCD...FG (рис. 150, а). Отрезки, из которых составлена ломаная, называются её звеньями, а концы этих отрезков — вершинами ломаной. Сумма длин всех звеньев называется длиной ломаной. Концы ломаной ABCD ... FG, т. е. точки А и G, могут быть различными, а могут совпадать (рис. 150, б). В последнем случае ломаная называется замкнутой, и её звенья FG и АВ также считаются смежными. Если несмежные звенья замкнутой ломаной не имеют общих точек, то эта ломаная называется многоугольником, её звенья называются сторонами многоугольника, а длина ломаной называется периметром многоугольника.


Рис. 150

Многоугольник с n вершинами называется n-угольником; он имеет n сторон. Примером многоугольника является треугольник. На рисунке 151 изображены четырёхугольник ABCD и шестиугольник А1А2А3А4А5А6.


Рис. 151

Фигура, изображённая на рисунке 152, не является многоугольником, так как несмежные отрезки С1C5 и С2С3 (а также С3С4 и С1C5) имеют общую точку.


Рис. 152

Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются соседними. Отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника.

Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней, а другая — внешней областью многоугольника.

На рисунке 153 внутренние области многоугольников закрашены. Фигуру, состоящую из сторон многоугольника и его внутренней области, также называют многоугольником.


Рис. 153

Выпуклый многоугольник

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

На рисунке 154 многоугольник F1 является выпуклым, а многоугольник F2 — невыпуклым.


Рис. 154

Рассмотрим выпуклый n-угольник, изображённый на рисунке 155,а. Углы АnА1А2, А1А2А3, ..., Аn-1АnА1 называются углами этого многоугольника. Найдём их сумму.


Рис. 155

Для этого соединим диагоналями вершину А1 с другими вершинами. В результате получим n - 2 треугольника (рис. 155, б), сумма углов которых равна сумме углов n-угольника. Сумма углов каждого треугольника равна 180°, поэтому сумма углов многоугольника АхАг... Аn равна (n - 2) • 180°.

Итак, сумма углов выпуклого п.-угольника равна (n - 2) • 180°.

Внешним углом выпуклого многоугольника называется угол, смежный с углом многоугольника. Если при каждой вершине выпуклого многоугольника А1А2 ... Аn взять по одному внешнему углу, то сумма этих внешних углов окажется равной

    180° - А1 + 180° - А2 + ... + 180° - Аn =
    = n • 180° - (A1 + А2 +... + Аn) =
    = п • 180° - (n - 2) • 180° = 360°.

Таким образом, сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360°.

Четырёхугольник

Каждый четырёхугольник имеет четыре вершины, четыре стороны и две диагонали (рис. 156). Две несмежные стороны четырёхугольника называются противоположными. Две вершины, не являющиеся соседними, также называются противоположными.


Рис. 156

Четырёхугольники бывают выпуклые и невыпуклые. На рисунке 156, о изображён выпуклый четырёхугольник, а на рисунке 156, б — невыпуклый.

Каждая диагональ выпуклого четырёхугольника разделяет его на два треугольника. Одна из диагоналей невыпуклого четырёхугольника также разделяет его на два треугольника (см. рис. 156, б).

Так как сумма углов выпуклого n-угольника равна (n - 2) • 180°, то сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°.

Задачи

363. Начертите выпуклые пятиугольник и шестиугольник. В каждом многоугольнике из какой-нибудь вершины проведите все диагонали. На сколько треугольников разделяют проведённые диагонали каждый многоугольник?

364. Найдите сумму углов выпуклого:

    а) пятиугольника;
    б) шестиугольника;
    в) десятиугольника.

365. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен:

    а) 90°;
    б) 60°;
    в) 120°;
    г) 108°?

366. Найдите стороны четырёхугольника, если его периметр равен 8 см, а одна сторона больше каждой из других сторон соответственно на 3 мм, 4 мм и 5 мм.

367. Найдите стороны четырёхугольника, если его периметр равен 66 см, первая сторона больше второй на 8 см и на столько же меньше третьей стороны, а четвёртая — в три раза больше второй.

368. Найдите углы выпуклого четырёхугольника, если они равны друг другу.

369. Найдите углы А, В и С выпуклого четырёхугольника ABCD, если ∠A = ∠B = ∠C, a AD = 135°.

370. Найдите углы выпуклого четырёхугольника, если они пропорциональны числам 1, 2, 4, 5.

Ответы к задачам

    364. а) 540°; б) 720°; в) 1440°.

    365. а) Четыре; б) три; в) шесть; г) пять.

    366. 23 мм, 20 мм, 19 мм, 18 мм.

    367. 15 см, 7 см, 23 см, 21см.

    368. 90°. 369. 75°. 370. 30°, 60°, 120°, 150°.

Рейтинг@Mail.ru