Геометрия
10-11 классы

       

Задачи к главе I

1.1. На плоскости а лежит равносторонний треугольник ABC, стороны которого равны 1. Точка К удалена от точек А и В на расстояние 2. Можете ли вы вычислить расстояние от К до вершины С? Можете ли узнать, в каких границах лежит это расстояние?

1.2. Пусть РАВС — правильный тетраэдр с ребром 2. Точка К—середина ребра РА, точка L — середина РВ, точка М — середина ВС, а N — середина АС.

  • а) Вычислите KL, LM, MN, NK.
  • б) Вычислите КМ, LN.
  • в) Вычислите углы NKL, LMN, KLM, MNK.
  • г) Докажите, что KLMN — прямоугольник,
  • д) Докажите, что КМ — общий перпендикуляр прямых РА и ВС, a LN — общий перпендикуляр прямых РВ и АС.

1.3. Два отрезка АВ и CD лежат на скрещивающихся прямых. Известны их длины, а также расстояние между их концами: AC, AD, ВС, BD. Как вычислить расстояния между серединами этих отрезков? Выведите формулу для искомого расстояния.

1.4. Пусть РАВС — правильный тетраэдр с ребром 2, точка О — центр грани ABC. Вычислите:

  • а) РО;
  • б) расстояние от О до середины бокового ребра;
  • в) расстояние от О до центра боковой грани;
  • г) расстояние между центрами двух граней.

1.5. В правильном тетраэдре РАВС, ребро которого равно 1, проведено сечение плоскостью BNO, где точка N — середина РА и точка О — середина PC. Вычислите длину общего отрезка этого сечения и сечения плоскостью:

  • а) РВК, где К — середина АС;
  • б) ACM, где М — середина РВ;
  • в) PLS, где L — середина 8С и S - середина АВ;
  • г) CMN.

1.6.

  • а) Докажите, что существует прямая, которая пересекает каждое из двух противоположных рёбер правильного тетраэдра под прямым углом.
  • б) Существует ли такая прямая для любой правильной треугольной пирамиды?

Применяем компьютер

1.7. Найдите кратчайшую замкнутую четырёхзвенную ломаную, вершины которой лежат на сторонах данного квадрата — по одной вершине внутри каждой его стороны.

1.8. Внутри квадрата требуется построить прямоугольник наименьшего периметра, причём вершины прямоугольника находятся на сторонах квадрата, а каждая его сторона параллельна хотя бы одной диагонали квадрата. С другой стороны, внутри того же квадрата требуется построить прямоугольник наибольшей площади, причём вершины прямоугольника находятся на сторонах данного квадрата, а каждая его сторона параллельна хотя бы одной диагонали квадрата. Ответьте на вопрос: это один прямоугольник или разные прямоугольники?

1.9. Прямая р проходит через вершину А квадрата ABCD, причём квадрат лежит с одной стороны от данной прямой. Известны длины перпендикуляров, проведённых из точек В и D на прямую р. Найдите длину перпендикуляра, проведённого на прямую р из вершины С квадрата.

1.10. Внутри угла дана точка. Можно ли через неё провести такой отрезок с концами на сторонах угла, чтобы он в этой точке делился пополам?

1.11. Через данную точку внутри угла провести прямую так, чтобы эта прямая от данного угла отсекала треугольник наименьшей площади.

1.12. Постройте квадрат, если известны его центр и две точки на противоположных сторонах.

1.13. Дан равносторонний треугольник ABC. Из вершины А по стороне АС двинулась точка М, из вершины С по лучу ВС, удаляясь от точки В, двинулась точка N. Скорости этих точек одинаковы, движение начато одновременно. Найдите наименьшее значение MN.

1.14. ABD и BCD — равносторонние треугольники. По отрезку АВ от В к А равномерно движется точка Р, по отрезку ВС от С к В с такой же скоростью движется точка О. Они начали движение одновременно. Найдите наименьшее и наибольшее значения угла PDQ.

1.15. В неравнобедренном треугольнике ABC (АВ>АС) из вершины А провели его медиану AM и биссектрису AL. Выясните, какой из этих отрезков длиннее.

1.16. Дан остроугольный треугольник ABC. Поведены три его высоты AA1, BB1, CC1. Пусть О — точка их пересечения. Ответьте на вопросы:

  1. Какой из отрезков ОА, ОВ, ОС наименьший?
  2. Какой из отрезков OA1, OB1, ОС1 наименьший?

1.17. Дан равносторонний треугольник ABC. На его стороне АС с другой стороны от точки В построен ромб ACLK. Зависит ли угол KBL от положения стороны KL?

1.18. Нарисуйте пятиугольную звезду — замкнутую ломаную ABCDEA. Найдите сумму её углов в вершинах А, В, С, D, Е. Сохранится ли сумма этих углов, если чуть «пошевелить» одну из вершин звезды?

Итоги главы I

Основными результатами § 1—3 можно считать следующие утверждения:

Прямую в пространстве можно задать:

  1. двумя её точками (теорема 1 п. 2.1);
  2. как пересечение двух плоскостей (аксиома 2 п. 1.2).

Плоскость в пространстве можно задать:

  1. тремя её точками, не лежащими на одной прямой (теорема 2 п. 2.2);
  2. прямой и не лежащей на ней точкой (теорема 3 п. 2.3);
  3. двумя пересекающимися прямыми (теорема 4 п. 2.4);
  4. парой параллельных прямых (последняя фраза в п. 3.1).

В главе I мы учились рисовать пространственные фигуры в параллельной проекции. Уметь наглядно и правильно рисовать пространственные фигуры очень важно для успешного овладения стереометрией.

Наконец, в § 5 мы проанализировали теоремы § 2 и 3, выяснили, что в них доказаны как утверждения о существовании некоторых объектов, так и утверждения об их единственности. А задачи на построение фигур в геометрии и являются предложениями (теоремами) о существовании этих фигур, доказываемыми конструктивно. Как это можно осуществить, проиллюстрировано для пирамид и призм.

Рейтинг@Mail.ru