Геометрия
10-11 классы

§ 4. Параллельное и центральное проектирования

4.1 Определение и основные свойства параллельного проектирования

Параллельным проектированием пользуются, например, при изображении на плоскости (скажем, на бумаге) фигур, расположенных в пространстве. Определяется оно так. Пусть даны плоскость а и пересекающая её прямая а. Возьмём в пространстве произвольную точку X. В том случае, когда точка X не лежит на прямой а, через X проводим прямую а', параллельную прямой а (рис. 42). Прямая а' пересекает плоскость а в некоторой точке X'. Эта точка называется параллельной проекцией (на плоскость а) точки X при проектировании в направлении прямой а. Если же точка X лежит на прямой а, то её параллельной проекцией X' называется точка, в которой а пересекает а.

Рис. 42

О прямой а говорят, что она задаёт направление проектирования. При замене прямой а любой другой параллельной ей прямой направление проектирования не изменится (поскольку две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны).

Проекцией фигуры F называется фигура F', состоящая из проекций всех точек фигуры F. Параллельную проекцию реальной фигуры представляет, например, её тень, падающая на плоскую поверхность при солнечном освещении, поскольку солнечные лучи можно считать параллельными (рис. 43). Перед вами картина И. И. Шишкина «Сосны, освещённые солнцем». Так, глядя на свою тень на земле, вы видите свою параллельную проекцию.

Рис. 43

Выполняя параллельное проектирование, мы каждой точке фигуры F сопоставляли некоторую точку на плоскости а, т. е. выполняли некоторое преобразование фигуры F в фигуру F'. Напомним, что вообще преобразование некоторой фигуры F состоит в том, что каждой её точке X сопоставляется некоторая точка X' (рис. 44). Все точки X' образуют некоторую фигуру F’, и говорят, что фигура F преобразуется в фигуру F'. Говорят также, что точка X' является образом точки Х, а фигура F' — образом фигуры F для данного преобразования. Мы будем рассматривать различные преобразования фигур — проектирования, симметрии, движения, подобия.

Рис. 44

Мы уже пользуемся параллельным проектированием при изображении пространственных фигур на плоскости и опираемся на его свойства для изображения отрезков и прямых, не параллельных направлению проектирования. Сформулируем и докажем их.

Свойство 1. Проекцией прямой является прямая, а проекцией отрезка — отрезок.

Свойство 2. Проекции параллельных прямых параллельны или совпадают.

Свойство 3. Отношение проекций отрезков, лежащих на одной прямой, равно отношению самих отрезков.

Доказательство. Пусть α — плоскость проекции и прямая а задаёт направление проектирования.

1. Рассмотрим какую-либо прямую Ь, не параллельную прямой а. Так как а можно заменить любой параллельной ей прямой, то можно считать, что а пересекает Ь. Тогда через прямые а и b проходит плоскость β. Она пересекает плоскость α по некоторой прямой b'. Прямая Ь' и будет проекцией прямой b (рис. 45).

Рис. 45

В самом деле, проекцией каждой точки X ∈ Ь будет некоторая точка X' ∈ Ь' и каждая точка Y' ∈ b' является проекцией некоторой точки Y ∈ b. Это так, поскольку все проектирующие прямые, пересекающие прямую b (прямую b'), находятся в плоскости β, а значит, пересекают прямую b'(прямую Ь).

Любой отрезок АВ, лежащий на прямой b, проектируется в отрезок А’В' прямой Ь' где А' и В' — проекции точек А и В. Действительно, проектирующая прямая а, проходящая через любую внутреннюю точку X отрезка АВ, идёт между проектирующими прямыми, проходящими через А и В. Поэтому и точка X' лежит между А' и В', т. е. на отрезке А'В'. Когда X пробегает отрезок АВ, точка X' пробегает отрезок А'В'.

2. Пусть теперь даны две параллельные прямые b и с. Возможны два случая,

  • а) Некоторая проектирующая прямая р||а пересекает и прямую b, и прямую с. Тогда эта прямая р лежит в плоскости β содержащей прямые b и с. В этом случае и все другие проектирующие прямые, которые лежат в плоскости β пересекают и b, и с, а потому проекцией этих прямых в направлении а на плоскость а является прямая пересечения плоскостей α и β.
  • б) Не существует проектирующих прямых, пересекающих одновременно и Ь, и с. В этом случае проекции прямых b и с на плоскость α — прямые Ь' и с' — не имеют общих точек, т. е. параллельны (рис. 46, а).

Рис. 46

3. Рассмотрим два отрезка АВ и CD у лежащие на прямой Ь. Проекции А'В' и C'D' отрезков АВ и CD лежат на прямой b' (рис. 46, б). Проектирующие прямые, проходящие через точки А, B, С, D, параллельны прямой а и, стало быть, параллельны друг другу. Кроме того, они все лежат в плоскости β. По известной теореме планиметрии параллельные прямые отсекают на двух прямых пропорциональные отрезки. Значит, АВ : CD = А'В': C'D'.

Все три свойства доказаны.

4.2 Изображение разных фигур в параллельной проекции

Рисунки, иллюстрирующие предложения стереометрии и представляющие фигуры в пространстве, делают обычно в параллельной проекции. Точнее, за изображение фигуры принимается фигура, подобная какой-либо её параллельной проекции. Фигура, подобная параллельной проекции фигуры, очевидно, обладает теми же свойствами, которые доказаны в п. 4.1. Поэтому, делая рисунки, надо следить за тем, чтобы выполнялись эти свойства.

Рассмотрим изображения некоторых фигур. Случай, когда фигура лежит в плоскости, заполненной проектирующими прямыми, и, следовательно, проектируется в фигуру, лежащую на прямой, исключаем.

1. Треугольник. Каждый треугольник можно параллельно спроектировать так, что в проекции получится треугольник любого вида, т. е. подобный любому заданному треугольнику.

Действительно, пусть даны два треугольника АBС и А1В1С1. Проведём через прямую АВ плоскость а, пересекающую плоскость треугольника АBС. На ней построим треугольник АBС', подобный треугольнику АХВгС19 прилегающий к треугольнику АBС по стороне АВ (рис. 46, в). Тогда при проектировании на плоскость α параллельно прямой СС треугольник АБС спроектируется на треугольник ABC' так, что его проекция будет подобна треугольнику А1В1С1. В частности, всякий треугольник можно спроектировать так, чтобы получился равносторонний треугольник.

2. Параллелограмм. Изображением параллелограмма может служить любой параллелограмм. (Почему? Какая связь с изображением треугольника?)

3. Изображение плоской фигуры. Для изображения плоской фигуры можно поступить так. В данной фигуре выделяют какие-нибудь три точки, не лежащие на одной прямой, и строят треугольник с вершинами в этих точках; обозначим их А, В, С (рис. 47). Строят изображение треугольника ABC в виде произвольного треугольника А'В'С'. После того как построено это изображение, никакого произвола в изображении фигуры быть не может. Покажем это.

Рис. 47

Пусть изображением треугольника ABC служит треугольник А'В'С' (рис. 48). Пусть точка X лежит в плоскости ABC и луч СХ пересекает отрезок АВ во внутренней его точке D. Проекция точки D — точка D' — лежит на отрезке А'В' (откуда это следует?), и .

Следовательно, точку D' на отрезке А'В' можно построить на рисунке (как?). Далее проводим луч C'D' и на нём отмечаем такую точку X', что (объясните, как это сделать). Мы построили на рисунке проекцию данной точки X плоскости ABC. (Точка X может располагаться и по-иному относительно треугольника ABC, но и тогда построение будет аналогичным.)

4. Тетраэдр. Изображать тетраэдр можно любым по форме четырёхугольником с диагоналями. Эту трудную теорему доказали в середине XIX века два немецких геометра Карл Польке и Герман Шварц. Чаще всего тетраэдр рисуют так, как он изображён на рисунке 49, а (штриховой линией выделяется невидимое ребро). Но можно его изобразить и так, как на рисунке 49, б: это правильно, но менее наглядно.

5. Изображение пространственной фигуры. При изображении пространственной фигуры роль изображения тетраэдра аналогична роли изображения треугольника при изображении плоской фигуры. Изображая пространственную фигуру, в ней выделяют сначала четыре точки, не лежащие в одной плоскости, т. е. вершины некоторого тетраэдра, и строят его изображение. После того как построено изображение этого тетраэдра, никакого произвола в изображении точек данной фигуры быть не должно. Покажем это.

Пусть ABCD — выделенный тетраэдр, а A'B'C'D' — его изображение. Возьмём точку X данной фигуры, и пусть луч СХ пересекает плоскость ABD в точке К внутри треугольника ABD (рис. 50). Изображение точки К — точка К' лежит внутри треугольника A'B'D' (откуда это следует?), причём она может быть построена (мы показали это в примере 3). Но тогда изображение X' точки X лежит на луче С'К' причём .

Рис. 50

Точка X может располагаться по-иному относительно тетраэдра, но и тогда рассуждение будет аналогичным.

Вообще же, как вы уже поняли, глядя, например, на рисунок 29, далеко не каждому рисунку соответствует пространственная фигура, которую изображает данный рисунок. Завершим этот пункт тремя известными парадоксами, основанными на неверном изображении пространственных объектов (рис. 51—52).

Рис. 51

Рис. 52

Какие из правил изображения в них нарушены?

4.3 Центральное проектирование

В курсах геометрии для изображения на плоскости чертежа или рисунка пространственных фигур применяется параллельное проектирование. Но в живописи, архитектуре и при фотографировании используется другой вид проектирования на плоскость — центральное проектирование. Его свойства сложнее свойств параллельного проектирования, но оно даёт большую наглядность изображению.

Центральное проектирование на плоскость определяется так. В пространстве фиксируется некоторая точка О (центр проектирования) и плоскость α (плоскость проекций), не проходящая через О. Через любую точку X проводится прямая ОХ — проектирующая прямая.

Если прямая ОХ пересекает α, то точка X' их пересечения называется центральной проекцией точки X на плоскость α из точки О (рис. 53).

Рис. 53

Из данного определения следует, что не каждая точка пространства проектируется из центра О в некоторую точку плоскости α: если прямая ОХ параллельна α, то точки X' нет (в то время как при параллельном проектировании все точки имеют проекции).

Центральное проектирование не сохраняет параллельности прямых (рис. 54; вспомните, что, когда мы смотрим вдаль на параллельные рельсы, нам кажется, что они пересекаются на линии горизонта).

Рис. 54

Легко понять, что и отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой, не параллельной плоскости проекций, не сохраняется при центральном проектировании (рис. 55).

Рис. 55

Примерами фигур, получающихся друг из друга при центральном проектировании, являются сечения одного конуса разными плоскостями (см. рис. 162, б, 164, а, 165, в, 167, 168).

Изображение пространственных фигур на плоскости с помощью центрального проектирования называется перспективой. Теория перспективы возникла из потребностей архитектуры и живописи. Некоторые законы перспективы были известны ещё древнегреческим геометрам: Аполлонию Пергскому (III в. до н.э.), Meнелаю (I в.), Паппу (III в.).

Теорией перспективы занимались крупнейшие художники эпохи Возрождения — Леонардо да Винчи (1452—1519) и Альбрехт Дюрер (1471—1528).

В дальнейшем теория перспективы развилась в один из разделов современной геометрии — проективную геометрию — учение о свойствах фигур, сохраняющихся при центральном проектировании.

Основы её заложил французский математик Жерар Дезарг (1591—1661). Он ввёл так называемые бесконечно удалённые элементы. Дезарг считал, что все параллельные друг другу прямые пересекаются в одной бесконечно удалённой точке, а все бесконечно удалённые точки одной плоскости лежат на одной бесконечно удалённой прямой.

Окончательно проективная геометрия оформилась как самостоятельная область геометрии в работах французского геометра Жана Виктора Понселе (1788—1867). (Ж.-В. Понселе был офицером наполеоновской армии и свой основной труд «Трактат о проективных свойствах фигур», вышедший в 1822 г., написал в 1813—1814 гг. в Саратове, находясь в русском плену.)


Рейтинг@Mail.ru