Геометрия
10-11 классы

       

Задачи к § 3

  • 3.1. Прямая а лежит в плоскости а, прямая b параллельна прямой а и имеет общую точку с а. Докажите, что прямая b лежит в плоскости а.
  • 3.2. Докажите, что две параллельные прямые лежат в единственной плоскости.
  • 3.3. Докажите такие свойства параллелепипеда:
    • а) для каждого его ребра есть три ему параллельных;
    • б) каждое его сечение, проходящее через два параллельных ребра, является параллелограммом;
    • в) для каждой диагонали его грани найдётся ей параллельная и равная диагональ в другой грани;
    • г) все его диагонали имеют общую точку и этой точкой делятся пополам.
  • 3.4. В правильном тетраэдре РАВС отметьте точку К на ребре РВ. Нарисуйте отрезок в этом тетраэдре, проходящий через точку К и параллельный:
    • а) АВ;
    • б) ВС;
    • в) РА;
    • г) PC;
    • д) BB1 где В1 — середина AC;
    • е) PQ, где О — центр основания ABC.
  • Какой из этих отрезков самый длинный? самый короткий?
  • 3.5. На рисунке 41 укажите скрещивающиеся прямые, проходящие через:
    • а) рёбра куба;
    • б) диагонали граней и диагональ куба.

    Рис. 41

  • 3.6. Нарисуйте тетраэдр РАВС. Точка К — середина ребра РА, точка L — середина ребра АВ, точка М — середина ребра ВС, точка N — середина ребра PC, точка О — середина ребра РВ, точка Т — середина ребра АС. Установите взаимное расположение следующих прямых:
    • a) KL и МО;
    • б) KN и LO;
    • в) АО и KL;
    • г) КМ и СО;
    • д) МО и PC;
    • е) KL и MN;
    • ж) КМ и ТО.
  • 3.7. Исследуем Известно, что в тетраэдре РАВС точка К — середина ребра РА, точка L — середина ребра РВ, точка М — середина ребра ВС, точка N — середина ребра АС.
    • а) Докажите, что KN || LM.
    • б) Установите вид четырёхугольника KLMN.
    • в) Докажите, что отрезки КМ и LN пересекаются в их общей середине,
    • г) Какой вид будет иметь четырёхугольник KLMN, если РАВС — правильная треугольная пирамида? правильный тетраэдр?

Рейтинг@Mail.ru