Геометрия
10-11 классы

§ 3. Взаимное расположение двух прямых в пространстве

3.1 Три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве

Две прямые на плоскости параллельны или пересекаются — третьей возможности для них нет. В пространстве же к этим двум случаям добавляется ещё один — когда две прямые не лежат в одной плоскости. Такие прямые существуют. Возьмём, например, четыре точки А, B, С, D, не лежащие в одной плоскости (задача 1.1). Тогда прямые АВ и CD (рис. 35) не лежат в одной плоскости (так как иначе точки А, B, С, D лежали бы в одной плоскости).

Рис. 35

Итак, для взаимного расположения двух прямых в пространстве возможны такие случаи:

  1. Прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек — параллельные прямые (рис. 36, а).
  2. Прямые лежат в одной плоскости и имеют общую точку — пересекающиеся прямые (рис. 36, б).
  3. Прямые не лежат ни в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися (рис. 36, в).

Рис. 36

Эти же три случая можно получить иначе.

  1. Прямые имеют общую точку. Тогда они лежат в одной плоскости. Это пересекающиеся прямые.
  2. Две прямые не имеют общих точек. Тогда они либо параллельны (если лежат в одной плоскости), либо скрещиваются (если не лежат в одной плоскости).

Все три случая можно видеть на примере прямых, по которым встречаются стены и потолок комнаты (рис. 37): например, а скрещивается с b и параллельна с, а b и с — пересекаются.

Рис. 37

Отметим, что параллельные прямые задают плоскость, в которой они лежат.

3.2. Признаки скрещивающихся прямых

Указав в п. 3.1 пример двух скрещивающихся прямых АВ и CD, мы фактически воспользовались следующим признаком скрещивающихся прямых:

  1. Если две прямые содержат четыре точки, не лежащие в одной плоскости, то они скрещиваются. Отсюда легко выводится второй признак скрещивающихся прямых:
  2. Прямая, лежащая в плоскости, скрещивается с каждой прямой, пересекающей эту плоскость, но не данную прямую.

Доказательство. Пусть прямая а пересекает плоскость а в точке А, но не пересекает прямую b, лежащую в плоскости а (рис. 38). Возьмём на прямой а ещё точку В, а на прямой b две точки С и D. Четыре точки А, B, С и D не лежат в одной плоскости, а потому прямые а и b скрещиваются.

Рис. 38

3.3. Параллельные прямые

Для параллельных прямых в пространстве выполняется, как и на плоскости, следующее утверждение:

Теорема 5. Через каждую точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Доказательство. Пусть даны прямая а и не лежащая на ней точка А. По теореме 3 через них проходит плоскость; обозначим её а. В плоскости а выполняются все положения планиметрии, а потому в ней через точку А проходит прямая b, параллельная а (рис. 39). Докажем, что другой прямой, параллельной а и проходящей через ту же точку А, нет.

Рис. 39

Действительно, такая прямая по определению параллельных прямых должна лежать с прямой а в одной плоскости. Кроме того, она должна проходить через точку А. Значит, она должна лежать в плоскости, проходящей через прямую а и точку А.

Такая плоскость по теореме 3 только одна — это плоскость а.

Но в плоскости, как известно, через данную точку А проходит только одна прямая, параллельная данной прямой а, — это и есть прямая Ъ. Следовательно, в пространстве через точку А проходит только одна прямая, параллельная данной прямой а.

Как и на плоскости, в пространстве две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны. Чтобы доказать этот признак параллельности прямых, докажем сначала такую лемму:

Лемма. Если плоскость пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую из них.

Пусть прямые а и Ь параллельны и плоскость а пересекает прямую а в точке А (рис. 40). Проведём плоскость β через параллельные прямые а и Ь. Плоскости а и β имеют общую точку A, a потому пересекаются по прямой с, проходящей через точку А. Прямая а пересекает прямую с в точке А. Поэтому в плоскости β и параллельная ей прямая b пересекает прямую с в некоторой точке В. В точке В прямая b пересекает и плоскость а.

Рис. 40

Докажем признак параллельности прямых.

Пусть две прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что а||Ь. Возьмём на прямой b некоторую точку В и проведём плоскость а через точку В и прямую а. Тогда прямая b также лежит в плоскости а. Если бы прямая b пересекала плоскость а (в точке В), то по лемме эту плоскость пересекала бы и параллельная ей прямая с. Если же снова применить лемму к параллельным прямым а и с, то получим, что прямая а пересекает плоскость а, что противоречит построению плоскости а (она содержит прямую а). Значит, прямая b лежит в одной плоскости а с прямой а. Пересекаться прямые а и b не могут (по теореме 5). Поэтому прямые а и b параллельны.

Вопросы для самоконтроля

  1. Как могут располагаться две прямые в пространстве?
  2. В чём сходство параллельных и скрещивающихся прямых? А в чём их различие? Какие вы знаете признаки скрещивающихся прямых?
  3. Две прямые пересекают третью. Как могут располагаться первые две прямые?
  4. Прямые а и b параллельны. Как располагаются прямые а и с, если:
    • а) с пересекает Ь;
    • б) с скрещивается с b?


Рейтинг@Mail.ru