Геометрия
10-11 классы

       

Задачи к § 2

  • 2.1. Пусть плоскости а и β пересекаются по прямой р ив плоскости а лежит прямая а, отличная от р. Докажите, что:
    • а) если а пересекает р, то а пересекает β;
    • б) обратно: если а пересекает β, то а пересекает р.
  • 2.2. Докажите, что через прямую проходит бесконечно много плоскостей.
  • 2.3. Пусть РАВС — тетраэдр. Нарисуйте его сечение плоскостью:
    • а) АРХ, где точка X лежит внутри ребра ВС;
    • б) PXY, где точка X лежит внутри ребра АВ, а точка Y— внутри ребра АС;
    • в) AXY, где точка X лежит внутри ребра РВ, а точка Y — внутри ребра ВС;
    • г) XYZ, где точка X лежит внутри ребра АС, точка Y — внутри ребра СВ, точка Z — внутри ребра СР.
  • 2.4. Пусть РАВС — тетраэдр. Выберите точку К внутри РА, точку L внутри РВ, точку М внутри ВС так, что (KL) пересекает (АВ), (LM) пересекает (PC). Нарисуйте:
    • а) точку пересечения (KL) и (АВС);
    • б) прямую, по которой (ABC) пересекает (KLM);
    • в) точку пересечения (LM) и (АРС);
    • г) прямую, по которой (KLM) пересекает (АРС);
    • д) точку пересечения (АС) и (KLM);
    • е) сечение тетраэдра РАВС плоскостью KLM.
  • 2.5. Нарисуйте сечение тетраэдра РАВС плоскостью XYZ, если:
    • а) X — точка внутри ребра РА, Y — внутри PC, Z — внутри АВ;
    • б) X— точка внутри ребра РВ, Y — внутри AC, Z — внутри АВ;
    • в) X — точка внутри ребра РА, Y — внутри РВ, Z — внутри ВС.
  • 2.6. Пусть ABCD — правильный тетраэдр, А1 — центр грани BCD, В1 — центр грани ACD, С1 — центр грани ABD, D1 — центр грани ABC. Нарисуйте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через:
    • a) (AD) и (DD1);
    • б) (АС) и (АА1);
    • в) (АС) и (CC1);
    • г) (DD1) и (ВВ1).
  • 2.7. Нарисуйте сечение правильного тетраэдра РАВС с ребром 3, проходящее через:
    • а) РВ и середину АС — точку К;
    • б) КВ и середину РА — точку L;
    • в) KL и середину АВ — точку М.

    Вычислите площадь каждого сечения.

  • 2.8. Нарисуйте тетраэдр. Установите форму его сечения плоскостью, которая проходит через:
    • а) боковое ребро;
    • б) среднюю линию основания;
    • в) вершину и точку внутри противоположной грани;
    • г) середины двух противоположных рёбер.

Рейтинг@Mail.ru