30.1. Могут ли равные векторы лежать на разных рёбрах правильного тетраэдра?
30.2. Нарисуйте параллелепипед ABCDA1B1C1D1.
Укажите вектор, равный:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
Отложите вектор, равный , от точки:
а) В1;
б) А.
Равны ли векторы:
а) и ;
б) и ?
30.3. Какую фигуру образуют концы равных векторов, отложенные от всех точек отрезка? А если вместо отрезка взять плоскую фигуру, что получится?
Задачи к п. 30.3
30.4. Докажите неравенство | + | ≤ || + ||. Обобщите его. Дайте геометрическое истолкование этого обобщения для случая трёх векторов, не лежащих в одной плоскости.
30.6. Решите задачу 30.5 (а—г), заменив сумму на разность.
30.7. Пусть А и В — любые две точки. Докажите, что при любом выборе точек О1 и O2 верно равенство
30.8. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Укажите такую точку X, что верно равенство Единственна ли такая точка? Решите аналогичную задачу для тетраэдра. Как обобщить полученные результаты?
а) Точка К — середина отрезка АВ. Докажите, что при любом выборе точки О вектор .
б) Точка Г — точка пересечения медиан треугольника ABC. Докажите, что при любом выборе точки О вектор .
30.11. Пусть точки К и L не лежат в плоскости ABC. Докажите, что параллельность прямой KL и плоскости ABC равносильна выполнению равенства
30.12. Используя векторные соотношения, запишите равенства, равносильные таким фактам:
а) точка X лежит на прямой АB;
б) точка X лежит на отрезке АB;
в) точка X принадлежит плоскости АBС.
Задачи к п. 30.6
30.13. ABCD и AB1CD1 — два параллелограмма. Докажите, что ВВ1||DD1.
30.14. Дан тетраэдр РАВС. Пусть точки К, L, М и N таковы, что
Каково взаимное расположение прямых КМ и NL?
30.15 Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что на диагонали B1D лежат середины других диагоналей параллелепипеда и точки пересечения медиан треугольников А1С1В и D1AC.
30.16. Из вершин А и D правильного тетраэдра ABCD одновременно и с одной скоростью стали двигаться по рёбрам АС и DB точки X и Y. Докажите, что прямая ХY всё время параллельна одной и той же плоскости.