Учебник для 10-11 классов

ГЕОМЕТРИЯ

§ 30. Векторы

30.1 Понятие вектора

Как вы знаете из физики и планиметрии, векторными величинами или, короче, векторами называются величины, которые характеризуются не только численным значением при выбранной единице измерения, но и направлением. Численное значение вектора называется его модулем или абсолютной величиной. Особый случай представляет нулевой вектор — его модуль равен нулю, а направления он не имеет.

Ненулевые векторы изображаются направленными отрезками. Напомним, что направленным отрезком называется отрезок, у которого указан порядок концов: первый называется началом, второй — концом. Направленные отрезки также называют векторами.

Вектор с началом А и концом В обозначается . Модуль вектора — это длина отрезка АВ.

30.2 Сонаправленность и равенство векторов

Ненулевые векторы и называются сонаправленными или одинаково направленными, если лучи АВ и MN сонаправлены (рис. 260, а, б). Напомним, что понятие сонаправленности лучей было определено в п. 15.1. Для сонаправленных векторов и применяется обозначение ↑↑ .

Рис. 260

Из этого определения и сонаправленности двух лучей, сонаправленных с третьим (лемма п. 15.1), вытекает признак сонаправленности векторов: два вектора, сонаправленные с третьим вектором, сонаправлены.

Ненулевые векторы называются равными, если их длины равны и они сонаправлены. Равенство нулевых векторов определяется лишь первым из этих условий.

Итак, равенство = означает, что выполняются два условия: 1) || = || и 2) ↑↑ (рис. 261, а, б). Второе условие проверяется лишь в случае, когда || ≠ 0.

Из данного определения и признака сонаправленности векторов следует признак равенства векторов: два вектора, равные третьему вектору, равны. Действительно, длины у них равны, а направление у них одно и то же, так как два вектора, сонаправленные с третьим, сонаправлены.

Отложить от данной точки вектор, равный данному, — значит построить направленный отрезок с началом в этой точке, изображающий данный вектор. От любой точки в пространстве можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

Действительно, пусть заданы вектор и некоторая точка М. Тогда найдётся единственная точка N, такая, что = . Если точка М не лежит на прямой (АВ) (см. рис. 261, а), то, построив параллелограмм ABNM, найдём искомую точку N. Если же точка М лежит на прямой (АВ) (см. рис. 261, б), то на том луче прямой АВ, который имеет начало в точке М и сонаправлен с лучом АВ, откладываем отрезок MN, равный отрезку АВ. В обоих случаях точка N единственная.

Рис. 261

Напомним ещё, что два вектора называются коллинеарными (или параллельными), если изображающие их направленные отрезки параллельны или лежат на одной прямой. Аналогично определяется параллельность и перпендикулярность векторов прямым и плоскостям. О двух параллельных, но несонаправленных ненулевых векторах говорят, что они направлены противоположно. Параллельность, перпендикулярность и противоположная направленность векторов и обозначается соответственно так: || , ⊥ , ↑↓ .

30.3 Сложение векторов

Как и в планиметрии, сумму двух векторов можно найти по правилу треугольника (рис. 262, а). А именно если даны два вектора и , то вектор откладываем от любой точки А: = . Затем от его конца — точки В — откладываем вектор : = . Суммой + векторов и называется вектор = .

Рис. 262

Полученный результат не зависит от выбора точки А. А именно если взять другую точку А₁ и отложить векторы — и = , то в результате получим вектор = (рис. 262, б).

Если векторы и не параллельны, то их сумму можно получить, пользуясь известным вам правилом параллелограмма. Согласно этому правилу надо отложить их от одной точки: = и = (рис. 262, в). Затем построить на отрезках АВ и AD параллелограмм ABCD. Вектор = + .

Свойства операций сложения векторов в стереометрии те же, что и в планиметрии, и доказываются они точно так же, как в планиметрии. Перечислим эти свойства, сопровождая их рисунками, из которых ясно, как они доказываются.

1. Переместительное свойство, или коммутативность: + = + для любых векторов и (рис. 262, г).
2. Сочетательное свойство, или ассоциативность: + ( + ) = ( + ) + для любых векторов , , (рис. 262, д).
3. Свойство нуль-вектора: + = а для любого вектора .
4. Существование и единственность противоположного вектора: для каждого вектора существует, и притом единственный, вектор -, такой, что + (-) = (рис. 262, е).

Вычитание векторов — это операция, обратная сложению векторов. Вычесть из вектора вектор — значит найти такой вектор , который в сумме с вектором даст вектор (рис. 263, а). Чтобы вычесть из вектора вектор , можно прибавить к вектору а вектор - (рис. 263, б).

Рис. 263

По правилу параллелограмма сумма двух векторов, непараллельных одной прямой, представляется диагональю параллелограмма, построенного на данных векторах, отложенных от одной точки.

Аналогично сумма трёх векторов, непараллельных одной плоскости, представляется диагональю параллелепипеда, построенного на данных векторах, отложенных от одной точки, как на рёбрах (рис. 264). Убедитесь в этом.

Рис. 264

30.4 Умножение вектора на число

Напомним определение умножения вектора на число, данное ещё в планиметрии.

Пусть даны ненулевой вектор и действительное число х ≠ 0. Произведением вектора на число х называется такой вектор х, который, во-первых, имеет длину |x| • || и, во-вторых, сонаправлен с , если х > 0, и направлен противоположно , если х < 0 (рис. 265). Если же = или х = 0, то полагают х = .

Рис. 265

Отметим четыре свойства умножения вектора на число. Они известны из планиметрии и относятся к планиметрии: выполняющиеся в них действия производятся с векторами, лежащими в одной плоскости или на одной прямой, если отложить их от одной точки. Эти свойства выполняются для любых векторов и чисел.

Свойство 1. 1 • = .

Свойство 2. х (у) = (ху) .

Свойство 3. (х + у) = х + у.

Свойство 4. x ( + ) = x +x.

Напомним характерное свойство коллинеарности векторов, доказанное в курсе планиметрии.

Теорема 37 (о коллинеарных векторах). Вектор коллинеарен не-нулевому вектору тогда и только тогда, когда = х.

Разложение вектора по базису

Операции сложения векторов и умножения вектора на число (их называют линейными) позволяют дать ответ на такой вопрос: сколько и каких векторов надо задать, чтобы через них можно с помощью линейных операций с векторами однозначно выразить любой вектор на данной прямой, на данной плоскости или в пространстве? Система таких векторов, через которые однозначно выражаются все остальные векторы, называется базисом (на прямой, на плоскости или в пространстве). Порядок векторов в этой системе считается заданным.

1. Базисом на прямой является любой ненулевой вектор. Это следует из теоремы о коллинеарных векторах (п. 30.4) и свойств умножения вектора на число.
2. Базисом на плоскости является любая пара неколлинеарных векторов.

Действительно, пусть даны плоскость α и любые неколлинеарные векторы и . Отложим их от некоторой точки О и проведём через них прямые а и b (рис. 266).

Рис. 266

Возьмём на плоскости α любой вектор и отложим его от точки О: = . Пусть точка С не лежит на прямых а и b. Тогда построим параллелограмм ОС₁СС₂ и = ₁ + ₂. По теореме о коллинеарных векторах ₁ = х и ₂ = у. Поэтому

= x + y. (1)

Искомое представление вектора v получено. Докажем, что оно единственное. Допустим, что, кроме равенства (1), имеется другое представление вектора :

= х* + у*. (2)

Из равенств (1) и (2) следует, что (х* - х) = (у - у*) , которое возможно для неколлинеарных векторов и лишь тогда, когда х = х* и у = у*.

Если же точка С лежит на а, то в равенстве (1) у = 0, а если точка С лежит на b, то в равенстве (1) x = 0.

Рассмотрим теперь трёхмерный случай. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой параллельны все эти векторы. Если же такой плоскости не существует, то векторы называются некомпланарными.

Ясно, что если все компланарные векторы отложить от некоторой точки плоскости, которой они параллельны, то они окажутся лежащими в этой плоскости (рис. 267). Очевидно, любые два вектора компланарны. Поэтому некомпланарными могут быть лишь не менее трёх векторов.

Рис. 267

3. Базисом в пространстве является любая тройка некомпланарных векторов.

Это означает, что какие бы три некомпланарных вектора , и мы ни взяли, любой вектор в пространстве однозначно выражается через векторы , и равенством

= х + y + z. (3)

Доказательство этого утверждения вполне аналогично двумерному случаю, только вместо параллелограмма строится параллелепипед с диагональю ОС, где = (рис. 268). Проведите это доказательство самостоятельно.

Рис. 268

Векторный метод Сложение векторов и умножение вектора на число составляют основу векторной алгебры — раздела математики, изучающего векторы. Векторная алгебра является одним из основных средств исследования в физике и в разных разделах математики. Например, в векторной форме записываются многие законы физики, в частности законы механики. И в геометрии аппарат векторов позволяет кратко записывать формулировки задач и теорем и их решения. Например, теорема о средней линии KL треугольника ABC в векторной форме записывается так:

(рис. 269),

а её доказательство пишется в одну строку:

Рис. 269

Проиллюстрируем ещё векторный метод на цикле задач о тетраэдре.

Задача (о средней линии тетраэдра). Пусть в тетраэдре ABCD точки К и L — середины рёбер АВ и CD (рис. 270). Отрезок KL назовём средней линией тетраэдра.

Рис. 270

Доказать, что:

1. Справедливо равенство

   

2. 
3. отрезки AC, BD, KL параллельны одной плоскости;
4. все средние линии тетраэдра пересекаются в одной точке и делятся ею пополам;
5. через эту точку проходит отрезок АА₁, где А₁ — центр масс грани BCD.

Решение.

1) Выразим двумя равенствами: и Сложим их и заметим, что и (по условию задачи). Получим Отсюда получаем (4).

2) Переходя в (4) к модулям векторов, получаем:

3) Из равенства (4) следует, что если отложить векторы от одной точки, то они будут лежать в одной плоскости, параллельной скрещивающимся прямым АС и BD. Поэтому отрезки KL, АС и BD параллельны этой плоскости.

4) Пусть точки М и N — середины рёбер АС и BD, а точка О — середина отрезка KL (рис. 271).

Рис. 271

Тогда KN — средняя линия грани ADB. Поэтому

Аналогично

Тогда

и

Ho . Поэтому , т. e. О середина отрезка MN.

5) Вычисляем:

Далее,

Итак,

Значит, точка О лежит на отрезке АА₁ и делит его в отношении АО : ОА₁ = 3 : 1.

Итак, мы доказали, что в точке О пересекаются не только все средние линии тетраэдра, но и все отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центром масс противоположных граней. Она делит эти отрезки в отношении 3:1. Точка О называется центром масс тетраэдра.

В заключение отметим два обстоятельства. Во-первых, все проведённые доказательства не зависят от того, лежат точки А, В, С, D в одной плоскости или нет. Поэтому доказанные утверждения верны и для плоского четырёхугольника ABCD. Во-вторых, первые два утверждения решённой задачи можно обобщить для отрезка KL, когда точки К и L делят отрезки АВ и CD не пополам, а в некотором отношении х, т. е. АК : КВ = CL : LD = х. Сделайте это обобщение.

Ещё одна задача, потруднее: проследите, по какой линии движется середина отрезка KL, когда х изменяется от 0 до ∞.

Применим ещё векторный метод к доказательству теоремы Менелая (п. 1.6). Напомним первое из двух её взаимно обратных утверждений: если прямая I не проходит через вершины треугольника ABC и пересекает прямые ВС, СА и АВ соответственно в точках А₁, B₁ и С₁ (рис. 272), то

Положим Напомним, что числа α, β, γ — это отношения направленных отрезков, а потому

и для любой точки О

Выберем два базисных вектора и и положим О = Сх. Тогда ,

и

Так как точки А₁, В₁ и С₁ лежат на одной прямой, то векторы и коллинеарны, а потому . Подставим в это равенство равенства (6) и (7) и перенесём все векторы, коллинеарные , налево, а все векторы, коллинеарные , направо. Тогда получим, что

Поскольку векторы и неколлинеарны, то стоящие при них в равенстве (8) коэффициенты равны нулю. Равенство нулю коэффициента при векторе даёт выражение для λ:

Подставляя это выражение в коэффициент при и приравнивая его к нулю, получаем, что (1 + β) (1 + αβγ) = 0. Так как β ≠ -1, то αβγ = -1, т. е. выполняется равенство (5). Утверждение, обратное доказанному, проверьте самостоятельно.

30.7 Параллельный перенос

Слово «вектор» латинское и означает «переносчик». Это соответствует той зависимости, которая связывает векторы и движения, называемые параллельными переносами или, короче, переносами. Переносы в пространстве определяются так же, как на плоскости: параллельным переносом фигуры называется такое её преобразование, при котором все её точки перемещаются на один и тот же вектор (т. е. на одно и то же расстояние в одном и том же направлении, рис. 273).

Рис. 273

Таким образом, при переносе каждым двум точкам X и У фигуры сопоставляются такие точки X' и У', что

Параллельный перенос фигуры задаётся переносом одной её точки: если указано, что точка А переходит в точку А₁, то для любой другой точки X в силу (9) Тем самым перенос задаётся вектором .

Параллельный перенос сохраняет расстояния и направления, т. е. каждым двум точкам X, У сопоставляются такие точки Х', У', что .

Действительно,

А так как по (9) , то получаем, что

Итак, параллельный перенос — это движение. Оказывается, что любое движение в пространстве можно получить, последовательно выполняя два из трёх рассмотренных нами видов движений: отражение в плоскости, поворот вокруг прямой и перенос. А именно справедлива следующая

Рис. 274

Доказательство этой теоремы мы не приводим.

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое вектор? Что такое модуль вектора?
2. Какие векторы называются коллинеарными, сонаправленными, равными, противоположно направленными?
3. Какие вы знаете признаки коллинеарности, сонаправленности, равенства векторов?
4. Как отложить вектор, равный данному?
5. Как сложить два вектора, три вектора? Какие свойства имеет сложение векторов?
6. Как умножить вектор на число? Какие свойства имеет операция умножения вектора на число?
7. В чём состоит параллельный перенос фигуры?
8. Приведите пример фигуры, которая самосовмещается при переносе.
9. Какие движения теперь вы знаете?