Геометрия
10-11 классы

Задачи к § 29

Задачи к пп. 29.1, 29.2

  • 29.1. Нарисуйте систему координат. Какие координаты равны нулю у точки, лежащей:
    • а) в плоскости ху;
    • б) в плоскости yz;
    • в) на оси х;
    • г) на оси у?
  • 29.2. Нарисуйте систему координат и точки A(1, 1, 0), B(1, 1, 3), C(1, 1, —2).
    • а) Каковы координаты проекций точки B на оси координат? Нарисуйте проекции точки B на плоскости координат. Каковы координаты этих проекций? Чему равны расстояния от В до плоскостей, осей и начала координат? Какие углы образует прямая OB с плоскостями и с осями координат?
    • б) Выполните те же задания для тонки С.
    • в) Какие координаты имеет точка прямой АВ, удалённая от плоскости ху на 5?
    • г) Какие координаты имеет точка прямой АВ, удалённая от точки О на 5?
    • д) Найдите расстояния от (АВ) до плоскостей xz и yz.
  • 29.3. Нарисуйте систему координат и точку А (0, -1, 1). Составьте задачи, аналогичные задаче 29.2, для этой точки. Попытайтесь составить и решить аналогичные задачи в общем виде. Например, задайте точки А(а, b, 0), В (а, Ь, с), С (а, Ь, с) и ответьте на те же вопросы, что заданы в задаче 29.2.
  • 29.4. Точки А (1, 0, 0) и В (-1, 0, 0) являются вершинами правильного тетраэдра, основание которого лежит в плоскости ху. Вычислите координаты двух других его вершин.
  • 29.5. Укажите положение точки в системе координат, если у неё:
    • а) х = 0;
    • б) х = у = 0;
    • в) у = 0, х ≠ 0, z ≠ 0;
    • г) y = z = 0, х ≠ 0.

Задачи к п. 29.3

  • 29.6. Даны точки А (5, -1, 3), В (1, 2, -6), С (-3, 3, 2). Какая из них ближе к началу координат; к плоскости yz; к оси х; к другим координатным плоскостям и осям?
  • 29.7. Вычислите расстояние АВ, если:
      а) А (0, 0, 1), В ( 1, 1, 0); б) А (-2, 3, -4), В (2,-3, 4); в) А (а, b, с), В (b, с, а).
    29.8. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 2. Пусть точка К — середина AD, точка L — середина C1D1, точка М — центр грани ABB1A1. Пусть система координат имеет начало в точке В, а оси координат направлены по лучам ВА, ВС, BB1. Используя метод координат:
    • а) вычислите расстояния KL, LM;
    • б) докажите, что центр куба равноудалён от всех вершин; от всех рёбер; от центров треугольников, образованных диагоналями граней.

Задачи к п. 29.4

  • 29.9.
    • а) В системе координат нарисуйте плоскость, перпендикулярную оси х и проходящую через точку (1, 0, 0). Возьмите любую точку плоскости и объясните, почему её координата по оси х равна 1.
    • б) Нарисуйте точку A (-2, 3, -1) и плоскость, проходящую через А и перпендикулярную оси х. Каким характерным свойством обладают все точки этой плоскости?
  • 29.10. Напишите уравнения плоскостей, перпендикулярных осям координат и проходящих через точки:
    • а) (0, 1, 0);
    • б) (1, 1, 0);
    • в) (1, 1, 1).
  • 29.11. Напишите уравнение плоскости:
    • а) удалённой на 2 от плоскости ху;
    • б) удалённой на 1 от плоскости х = 3;
    • в) равноудалённой от двух данных плоскостей у = 1 и у = -3.
  • 29.12. Объясните, почему совместное выполнение двух условий х = а и у = Ь задаёт в пространственной системе координат прямую. Как она расположена относительно плоскостей и осей координат?
  • 29.13. Какая фигура определяется уравнением: x2 + y2 + z2 = 9 и условием:

  • 29.14. Напишите уравнение сферы:
    • а) с центром в начале координат и радиусом 1;
    • б) с центром в точке (-1, -1, 1) и радиусом 1;
    • в) с центром в точке [а, -а, а) и радиусом а;
    • г) проходящей через точки (1, 1, 1), (1, —1, —1), (-1, -1, 1) и (1, -1, 1);
    • д) касающейся плоскости yz в точке (0, 1, 2) радиуса 3;
    • е) касающейся всех координатных плоскостей.

Задачи к п. 29.5

  • 29.15. Пусть А и В — две точки пространства. Методом координат докажите, что все точки пространства, равноудалённые от А и В, образуют плоскость.
  • 29.16. Докажите теорему о сечении сферы плоскостью (см. п. 16.2), выбрав начало координат в центре сферы, а одну из осей координат направив перпендикулярно плоскости.
  • 29.17. Покажите методом координат, какой фигурой может быть пересечение двух сфер.
  • 29.18. Пусть α — координатная плоскость хОу, а β — координатная плоскость xOz. Какую фигуру в пространстве образуют все такие точки К, что:
    • а) | Кα | = |Кβ |;
    • б) | Кα| = 2 |Kβ|;
    • в) |Кα| + |Kβ|=1?


Рейтинг@Mail.ru