Геометрия
10-11 классы

       

§ 29. Метод координат

29.1 Прямоугольные координаты

Координатами вообще называют числа, определяющие положение точки. Вы знакомы с прямоугольными координатами на плоскости, географическими координатами — широтой и долготой, экваториальными координатами на небесной сфере — склонением и прямым восхождением.

В пространстве к двум координатам присоединяется третья. Самые употребительные координаты в пространстве — прямоугольные.

Возьмём в пространстве три взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в одной точке О (рис. 254, а). На каждой из этих прямых введём координаты с началом О. На одной из этих прямых координату обозначим х, на другой — у, на третьей — z.

Рис. 254

Произвольной точке М пространства сопоставим три координаты следующим образом. Точка М проектируется на оси, и за её координаты принимаются координаты её проекций. Итак, координата х точки М — это координата её проекции M1 на ось х. Аналогично определяются координаты у и z.

Координаты точки записывают вслед за обозначением точки: М (х, у, z).

Нередко точку обозначают просто её координатами: (х, у, z).

Определённые таким образом координаты называют прямоугольными, выбранные прямые — осями координат: ось х, ось у, ось z, а проходящие через них плоскости — плоскостями координат: плоскость ху, плоскость xz, плоскость yz.

Координаты точки М можно найти и следующим образом.

Построим проекцию М0 точки М на плоскости ху, а затем проекцию этой точки М0 на ось х (рис. 254, б). Получим точку Мг (по теореме о трёх перпендикулярах). Длины отрезков ОМ1, М1М0, М0М, взятые с должными знаками, дадут последовательно координаты х, у, z точки М.

29.2 Построение точки с данными координатами

Проведя последнее построение в обратном порядке, можно найти точку с заданными значениями координат: х = х0, у = у0, z = z0.

Находим на оси х точку М1 с координатой х = х0. Проводим из неё в плоскости ху перпендикуляр M1M0 к оси х в сторону, соответствующую знаку у0, на длину |у0|. Из конца М0 этого перпендикуляра проводим перпендикуляр к плоскости ху в сторону, соответствующую знаку z0, на длину |z0|. Конец М этого перпендикуляра и будет иметь координаты х0, у0, z0.

Проведённое построение точки М (х0, у0, z0) показывает, что не только каждой точке отвечают определённые три координаты, но и обратно: каждой тройке чисел, взятых в определённом порядке, соответствует точка с такими координатами.

29.3 Выражение расстояния между точками

Теорема 36. В прямоугольных координатах расстояние между точками А (х1, у1, z1) и В (х2, у2, z2) выражается формулой

Словами: расстояние между точками равно корню квадратному из суммы квадратов разностей их координат.

Доказательство. Пусть даны две точки А (х1, у1, z1) и В (х2, у2, z2). Пусть прямая АВ не параллельна хотя бы одной оси, так что она, допустим, не параллельна оси z. Проведём через точки А и В прямые а и b, параллельные оси z и, следовательно, перпендикулярные плоскости ху (рис. 255). Они пересекут эту плоскость в точках А' и В' с координатами х1, у1 и x2, у2. Как известно из планиметрии, расстояние А'В' равно

Если z1 = z2, то отрезки АВ и А'В' являются противоположными сторонами прямоугольника (или совпадают, когда точки А и В лежат в плоскости ху). В этом случае z2 - z1 = 0 и А'В' = АВ. Таким образом, формула (2) и даёт формулу (1).

Допустим, z1 ≠ z2. Параллельные прямые а и b лежат в одной плоскости. Проведём из точки А перпендикуляр АС на прямую b. Получаем прямоугольный треугольник ABC и прямоугольник АА'В'С. Тогда А'В' = АС и ВС = |z2 - z1|.

По теореме Пифагора

Подставив сюда значение А'В' из (2) и ВС, получим (1).

Замечание. Как равенство (2) является записью теоремы Пифагора в координатах, так и равенство (1) является пространственным аналогом теоремы Пифагора, записанным в координатах.

29.4 Метод координат

Применение координат и алгебраических методов к исследованию геометрических объектов и к решению геометрических задач составляет раздел геометрии, называемый аналитической геометрией. Одним из её создателей был знаменитый французский философ и математик Рене Декарт (1596—1650), и прямоугольные координаты часто называют декартовыми.

Применяя метод координат, можно решать задачи двух видов. Во-первых, задавая фигуры уравнениями и выражая в координатах различные геометрические соотношения, можно применять алгебру и анализ к решению геометрических задач, к доказательству теорем. Мы и начали с того, что, введя прямоугольные координаты, выразили через них основную геометрическую величину — расстояние между точками. Это был первый шаг в применении метода координат.

Далее, из формулы (1) вытекает, например, что сфера радиуса R с центром в точке К (а, b, с) задаётся уравнением

(х - а)2 + (у - b)2 + (z - с)2 = R2. (3)

(Сравните это уравнение с уравнением окружности на плоскости.)

Во-вторых, пользуясь координатами, можно истолковывать уравнения и неравенства геометрически и таким образом применять геометрию к алгебре и анализу. Графическое изображение функций — первый пример такого применения метода координат.

Через метод координат геометрия и алгебра, соединяясь и взаимодействуя, дают богатые плоды, которые они не могли бы дать, оставаясь разделёнными.

29.5 Применения метода координат

Начнём с совсем простого примера: выведем уравнение плоскости ху. Она задаётся уравнением z = 0, так как у каждой точки этой плоскости координата z = 0, и, наоборот, если у точки координата z = 0, то она лежит в плоскости ху.

Теперь рассмотрим ещё раз задачу о взаимном расположении сферы и плоскости (см. п. 16.3). Можно так выбрать систему координат, что данная плоскость будет координатной плоскостью ху, а центр рассматриваемой сферы лежит на оси z в точке (0, 0, d), d > 0 (рис. 256).

Рис. 256

Тогда плоскость задаётся уравнением z = О, сфера — уравнением х2 + y2 + (z - d)2 = R2, а их пересечение — системой этих уравнений:

(поскольку координаты общих точек сферы и плоскости должны удовлетворять обоим уравнениям).

Подставляя 2 = 0 в первое уравнение системы, упрощаем её и получаем систему

Ясно, что при 0 ≤ d < R, когда R2 - d2 > 0, эта система задаёт в плоскости ху окружность радиуса (рис. 256, в).

Если d = R, то х2 + у2 = 0, 2 = 0 и плоскость и сфера имеют единственную общую точку (0, 0, 0) (касаются в этой точке, рис. 256, б).

Если же d > R, то R2 - d2 < 0 и у сферы и плоскости общих точек нет (рис. 256, а).

Часто уравнение, задающее некоторую фигуру в пространстве, содержит не все переменные х, у, z. Например, плоскость ху задаётся уравнением 2 = 0. Наоборот, в уравнениях y = kx и х2 + у2 = r2 отсутствует переменная z. Вы знаете, что на координатной плоскости ху эти уравнения задают прямую I и окружность F (рис. 257, а). А что эти уравнения задают в пространстве? Уравнение y = kx в пространстве задаёт плоскость α, проходящую через прямую I и перпендикулярную плоскости ху (а значит, содержащую ось z; рис. 257,6). А уравнение х2 + у2 = r2 задаёт в пространстве бесконечный цилиндр вращения (рис. 257, в). Он образован прямыми, перпендикулярными плоскости ху и пересекающими её в точках окружности F.

Рис. 257

Зная эти несложные уравнения, уже можно решать задачи, которые обычными геометрическими средствами решить не просто. Например, что представляет собой пересечение двух бесконечных одинаковых цилиндров вращения, оси которых пересекаются и перпендикулярны (рис. 258)?

Рис. 258

Если оси этих цилиндров — координатные оси х и у, то цилиндры можно задать уравнениями у2 + z2 = r2 и х2 + z2 = г2. Координаты их общих точек удовлетворяют обоим этим уравнениям, а значит, и вытекающему из них уравнению х2 - у2 = 0. Уравнение х2 - у2 = 0 определяет пару плоскостей, заданных уравнениями у = х и у = -х (рис. 259).

Рис. 259

Как было сказано в п. 18.4, сечение цилиндра плоскостью является эллипсом. Поэтому два рассматриваемых цилиндра пересекаются по двум эллипсам, лежащим в плоскостях у = х и у = -х.

Последняя задача подсказывает, как вырезать заготовку из жести, чтобы сделать, например, «колено» у трубы (см. рис. 253). Дело в том, что при развёртке цилиндра его эллиптическое сечение перейдёт в ... синусоиду! Убедитесь в этом сами.

Вопросы для самоконтроля

  1. Сколько координат имеет точка в пространстве?
  2. Как найти координаты точки в пространстве?
  3. Как построить точку с заданными координатами?
  4. Запишите формулу расстояния между двумя точками. Имеет ли значение порядок точек и их координат?
  5. Запишите уравнение сферы с центром в начале координат.
  6. Какие вы знаете уравнения других фигур в пространстве?
  7. Какие задачи можно решать методом координат? Приведите примеры.

Рейтинг@Mail.ru