Учебник для 10-11 классов

ГЕОМЕТРИЯ

Задачи к главе V

V.1. Найдите наибольший объём правильной треугольной призмы, периметр боковой грани которой равен 6.

V.2. В правильной треугольной призме расстояние от центра нижнего основания до вершины верхнего основания равно √3. Какова должна быть её высота, чтобы объём призмы был наибольшим?

V.3. В прямоугольном параллелепипеде периметр основания равен 6. Найдите наибольший объём параллелепипеда, если его высота равна одной из сторон основания параллелепипеда.

V.4. Найдите наибольший объём правильной четырёхугольной призмы, у которой периметр диагонального сечения равен 6.

V.5. РАВС — треугольная пирамида, (РА) ⊥ (ABC), ∠ACB = 90°, |АС| + |СВ| = 18. Угол между плоскостями РВС и ABC равен 30°. Какой наибольший объём имеет такая пирамида?

V.6.

1. Из конуса радиуса R и высоты Н вырезают цилиндр наибольшего объёма. Его основание лежит на основании конуса. Чему равен объём этого цилиндра?
2. Решите такую же, как в 1), задачу, где вместо цилиндра:
   • а) правильная треугольная призма;
   • б) правильная четырёхугольная призма.

V.7.

1. Из шара радиуса R вырезают цилиндр наибольшего объёма. Чему равен этот объём?
2. Решите такую же, как в 1), задачу, где вместо цилиндра:
   • а) конус;
   • б) правильная треугольная призма;
   • в) правильная четырёхугольная призма;
   • г) правильная треугольная пирамида;
   • д) правильная четырёхугольная пирамида.

V.8. В конусе периметр осевого сечения равен 20. Каков должен быть радиус основания конуса, чтобы объём конуса был наибольшим?

V.9. Из данного конуса радиуса 1 и высоты 1 вырезают конус наибольшего объёма. Вершина этого конуса находится в центре основания данного, оси обоих конусов лежат на одной прямой. Каковы размеры полученного конуса?

V.10.

• а) Найдите наибольший объём правильной треугольной пирамиды, апофема которой равна 2√3.
• б) Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна 2√3, а высота может принимать любые значения, принадлежащие промежутку [1; 3]. Найдите наибольший объём пирамиды.

V.11. В пирамиде РАВС ∠BAC = 90°, (PB) ⊥ (ABC), |АВ| + |РВ| = 9, |АС|= 2 |ВР|. Найдите расстояние от Р до (АС) в пирамиде, имеющей наибольший объём.

V.12. Основание пирамиды РАВС — равнобедренный прямоугольный треугольник, ∠A = 90°, (РА) ⊥ (ABC), |АВ| + |АС| + |АР| = 12. При каких длинах АВ, АС, АР объём пирамиды наибольший?

V.13. В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит прямоугольник ABCD с периметром 18. Угол между плоскостями ABC и ABC₁ равен 60°. Каков наибольший объём призмы?

V.14. В основании пирамиды РАВС лежит треугольник ABC, в котором ∠ACB-30°, |АС| : |СВ| = 1 : 2, PC — высота пирамиды. Известно, что |РС| + |АС| + |СВ| = 9. Найдите длину АС, при которой объём пирамиды будет наибольшим.

V.15. В основании пирамиды PABCD — прямоугольник, высота пирамиды — РВ. Найдите наибольший объём пирамиды, если её высота равна АВ и АВ + ВС = 6.

V.16. В четырёхугольной пирамиде PABCD в основании квадрат, РВ — высота, РС + РВ = 8. Найдите длину РВ, при которой объём пирамиды наибольший, зная, что 1 ≤ РВ ≤ 3.

V.17. Основание пирамиды PABCD — ромб с острым углом 30° в вершине А, PD — высота пирамиды, DA + DC + DP = 48. При каких длинах DA и PD объём пирамиды наибольший?

V.18. в основании пирамиды PABCD — прямоугольник, периметр которого равен 12, (РВ) ⊥ (АВС), угол между гранями PAD и ABCD равен 45°. При какой высоте её объём наибольший?

V.19. Высота прямоугольного параллелепипеда равна 0,5, а площадь основания 9. Найдите наименьшую площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Итоги главы V

Основные результаты главы V — вывод трёх формул для объёмов тел и трёх формул для площадей поверхностей.

• Объём цилиндра, в частности призмы, равен произведению площади основания и высоты V = SH (теорема 30 п. 27.1).
• Объём конуса, в частности пирамиды, равен одной трети произведения площади основания и высоты V = 1/3 SH (теорема 31 п. 27.2).
• Объём шара радиуса R выражается формулой V = 4/3 πR³ (теорема 32 п. 27.3).
• Площадь сферы радиуса R выражается формулой S = 4πR² (теорема 33 п. 28.3).
• Площадь боковой поверхности цилиндра вращения высотой Н и радиусом основания R выражается формулой S₆ = 2πRH (теорема 34 п. 28.3).
• Площадь боковой поверхности конуса вращения с образующей поверхности L и радиусом основания R выражается формулой S₆ = πRL (теорема 35 п. 28.3).