Геометрия
10-11 классы

       

Задачи к § 1

  • 1.1. Докажите, что существуют четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

Задачи к пп. 1.1 —1.3

  • 1.2. Приведите пример двух одинаковых поверхностей, которые имеют общую точку, но (в отличие от плоскостей) дают в пересечении фигуру, отличную от прямой. Постарайтесь сделать хороший рисунок.
  • 1.3. Нарисуйте плоскость. Нарисуйте такую линию, которая имеет с ней две общие точки, но не лежит в ней.
  • 1.4. Нарисуйте прямую. Нарисуйте такую поверхность, которая имеет с ней две общие точки, но не содержит прямую.
  • 1.5. Ученик нарисовал сечения куба плоскостью (рис. 29). Есть ли ошибки на рисунке?

Рис. 29

  • 1.6. Ученик нарисовал сечения тетраэдра плоскостью (рис. 30). Есть ли ошибки на рисунке?

Рис. 30

Задачи к п. 1.4

  • 1.7. Нарисуйте тетраэдр РАВС. Укажите его грань, равную грани РАВ, если:
    • а) РА = РВ = PC, АВ = ВС = СА;
    • б) РА = ВС, РВ = АС, РС = АВ;
    • в) РА = РВ = АС, РС = АВ = ВС.

    Выберите сами другую грань тетраэдра и найдите грань, равную ей.

  • 1.8. Нарисуйте правильную треугольную пирамиду РАВС.
    • а) Из вершины Р проведите медианы боковых граней. Докажите, что они равны,
    • б) В гранях РАС и РВС из точек А и В проведите высоты. Докажите, что они попадут в одну точку ребра,
    • в) Нарисуйте точку О — центр основания ABC. Соедините её отрезками с точками Р, А, В, С. Укажите на полученном рисунке все пары равных треугольников.
  • 1.9. Нарисуйте правильный тетраэдр РАВС. Отметьте любую точку К внутри ребра РВ. Нарисуйте треугольник АСК.
    • а) Докажите, что он равнобедренный.
    • б) Может ли он при некотором положении точки К быть равносторонним?
    • в) Может ли он при некотором положении точки К быть прямоугольным?
  • 1.10. В правильной четырёхугольной пирамиде PABCD все рёбра равны. Проведите АС и BD. Укажите пары равных треугольников.
  • 1.11. Нарисуйте на поверхности куба, но не в одной его грани:
    • а) равнобедренный треугольник;
    • б) равносторонний треугольник;
    • в) разносторонний треугольник.

Задачи к п. 1.5

  • 1.12.
    • а) Как одной плоскостью разбить тетраэдр на: два тетраэдра; один тетраэдр и один многогранник, не являющийся тетраэдром; два многогранника, не являющиеся тетраэдрами?
    • б) На сколько частей можно разбить тетраэдр двумя плоскостями? Могут ли все они быть тетраэдрами? Сколько при этом можно получить тетраэдров?
  • 1.13. Исследуем | Нарисуйте куб.
    • а) На сколько частей его можно разбить двумя плоскостями?
    • б) Сколько понадобится плоскостей, чтобы разбить его на одни только тетраэдры?

Задачи к п. 1.6

  • 1.14.
    • а) Пусть в треугольнике известны две стороны и угол между ними. Как найти биссектрису этого угла?
    • б) Проведите вычисления для прямоугольного треугольника с катетами 2 и 3 и биссектрисы прямого угла.
  • 1.15. Известны стороны треугольника. Как найти отношение отрезков, в котором биссектрисы делятся точкой своего пересечения?
  • 1.16. В треугольнике с известными сторонами проведена медиана. Как найти углы, которые она образует со сторонами треугольника?
  • 1.17. Как найти неизвестную сторону треугольника, если известны две его стороны и медиана на третью сторону?
  • 1.18. Докажите, что треугольник с двумя равными биссектрисами — равнобедренный.
  • 1.19. Пусть в треугольнике ABC известно: АС = Ь, ВС = a, ∠ACB = γ.
    • а) Докажите, что его биссектриса
    • б) Какие следствия можно получить из этой формулы?
  • 1.20. Пусть а, Ь, с — стороны треугольника,
    • а) Докажите, что а = b cos С + с cos В.
    • б) Докажите аналогичные формулы для других сторон треугольника.
    • в) Исходя из полученных формул, докажите неравенство треугольника, теорему косинуса.
  • 1.21. Пусть известно, в каком отношении делятся две биссектрисы треугольника их общей точкой. Можно ли найти углы треугольника?
  • 1.22. Пусть биссектрисы треугольника, пересекаясь, делят друг друга в отношении 2:1, считая от вершины. Является ли такой треугольник равносторонним?
  • 1.23. Можно ли найти площадь треугольника, зная его медианы? Если можно, то попытайтесь получить соответствующую формулу.
  • 1.24. Исследуя соотношение между стороной треугольника и проведённой к ней медианой, можно установить вид треугольника по его углам. Каким образом?
  • 1.25. В треугольнике ABC проведены хорды ВМ и AN, которые пересекаются в точке О.
    • а) Площади треугольников АОМ, АОВ и BON равны S1, S2, S3 соответственно. Сможете ли вы найти площадь данного треугольника?
    • б) Пусть теперь известны S1 и S3, а кроме того, известно, что площадь треугольника АОВ равна площади четырёхугольника CMON. Сможете ли вы найти площадь данного треугольника?
  • 1.26. Каждая сторона треугольника меньше 1. В каких границах лежит его площадь?
  • 1.27. На сторонах АВ и АС треугольника ABC взяты соответственно точки М и N, такие, что . В каком отношении точка К пересечения отрезков BN и СМ делит каждый из этих отрезков?

Рейтинг@Mail.ru