1.1. Докажите, что существуют четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
Задачи к пп. 1.1 —1.3
1.2. Приведите пример двух одинаковых поверхностей, которые имеют общую точку, но (в отличие от плоскостей) дают в пересечении фигуру, отличную от прямой. Постарайтесь сделать хороший рисунок.
1.3. Нарисуйте плоскость. Нарисуйте такую линию, которая имеет с ней две общие точки, но не лежит в ней.
1.4. Нарисуйте прямую. Нарисуйте такую поверхность, которая имеет с ней две общие точки, но не содержит прямую.
1.5. Ученик нарисовал сечения куба плоскостью (рис. 29). Есть ли ошибки на рисунке?
Рис. 29
1.6. Ученик нарисовал сечения тетраэдра плоскостью (рис. 30). Есть ли ошибки на рисунке?
а) Из вершины Р проведите медианы боковых граней. Докажите, что они равны,
б) В гранях РАС и РВС из точек А и В проведите высоты. Докажите, что они попадут в одну точку ребра,
в) Нарисуйте точку О — центр основания ABC. Соедините её отрезками с точками Р, А, В, С. Укажите на полученном рисунке все пары равных треугольников.
1.9. Нарисуйте правильный тетраэдр РАВС. Отметьте любую точку К внутри ребра РВ. Нарисуйте треугольник АСК.
а) Докажите, что он равнобедренный.
б) Может ли он при некотором положении точки К быть равносторонним?
в) Может ли он при некотором положении точки К быть прямоугольным?
1.10. В правильной четырёхугольной пирамиде PABCD все рёбра равны. Проведите АС и BD. Укажите пары равных треугольников.
1.11. Нарисуйте на поверхности куба, но не в одной его грани:
а) равнобедренный треугольник;
б) равносторонний треугольник;
в) разносторонний треугольник.
Задачи к п. 1.5
1.12.
а) Как одной плоскостью разбить тетраэдр на: два тетраэдра; один тетраэдр и один многогранник, не являющийся тетраэдром; два многогранника, не являющиеся тетраэдрами?
б) На сколько частей можно разбить тетраэдр двумя плоскостями? Могут ли все они быть тетраэдрами? Сколько при этом можно получить тетраэдров?
1.13. Исследуем | Нарисуйте куб.
а) На сколько частей его можно разбить двумя плоскостями?
б) Сколько понадобится плоскостей, чтобы разбить его на одни только тетраэдры?
Задачи к п. 1.6
1.14.
а) Пусть в треугольнике известны две стороны и угол между ними. Как найти биссектрису этого угла?
б) Проведите вычисления для прямоугольного треугольника с катетами 2 и 3 и биссектрисы прямого угла.
1.15. Известны стороны треугольника. Как найти отношение отрезков, в котором биссектрисы делятся точкой своего пересечения?
1.16. В треугольнике с известными сторонами проведена медиана. Как найти углы, которые она образует со сторонами треугольника?
1.17. Как найти неизвестную сторону треугольника, если известны две его стороны и медиана на третью сторону?
1.18. Докажите, что треугольник с двумя равными биссектрисами — равнобедренный.
1.19. Пусть в треугольнике ABC известно: АС = Ь, ВС = a, ∠ACB = γ.
а) Докажите, что его биссектриса
б) Какие следствия можно получить из этой формулы?
1.20. Пусть а, Ь, с — стороны треугольника,
а) Докажите, что а = b cos С + с cos В.
б) Докажите аналогичные формулы для других сторон треугольника.
в) Исходя из полученных формул, докажите неравенство треугольника, теорему косинуса.
1.21. Пусть известно, в каком отношении делятся две биссектрисы треугольника их общей точкой. Можно ли найти углы треугольника?
1.22. Пусть биссектрисы треугольника, пересекаясь, делят друг друга в отношении 2:1, считая от вершины. Является ли такой треугольник равносторонним?
1.23. Можно ли найти площадь треугольника, зная его медианы? Если можно, то попытайтесь получить соответствующую формулу.
1.24. Исследуя соотношение между стороной треугольника и проведённой к ней медианой, можно установить вид треугольника по его углам. Каким образом?
1.25. В треугольнике ABC проведены хорды ВМ и AN, которые пересекаются в точке О.
а) Площади треугольников АОМ, АОВ и BON равны S1, S2, S3 соответственно. Сможете ли вы найти площадь данного треугольника?
б) Пусть теперь известны S1 и S3, а кроме того, известно, что площадь треугольника АОВ равна площади четырёхугольника CMON. Сможете ли вы найти площадь данного треугольника?
1.26. Каждая сторона треугольника меньше 1. В каких границах лежит его площадь?
1.27. На сторонах АВ и АС треугольника ABC взяты соответственно точки М и N, такие, что . В каком отношении точка К пересечения отрезков BN и СМ делит каждый из этих отрезков?