Геометрия
10-11 классы

§ 28. Площадь поверхности

28.1 О понятии площади поверхности

Площадь поверхности многогранника, естественно, считается равной сумме площадей его граней. Задача состоит в определении площади искривлённой поверхности, например сферы, боковых поверхностей цилиндра и конуса.

Площадь искривлённой поверхности вычисляют так. Разбивают поверхность на такие куски, которые уже достаточно мало отличаются от плоских. Тогда находят площади этих кусков, как если бы они были плоскими (например, заменяя их проекциями на плоскости, от которых поверхность мало отклоняется). Сумма их площадей и даст приближённо площадь искривлённой поверхности.

Так поступают на практике: площадь поверхности купола, например собора, получается как сумма площадей покрывающих его кусков листового металла (рис. 248, а). Ещё лучше это видно на примере земной поверхности. Она искривлена — примерно сферическая. Но участки, небольшие в сравнении с размерами всей Земли, измеряют как плоские.

Рис. 248

Вычисляя площадь выпуклой поверхности, описывают вокруг неё, когда это возможно, близкую к ней многогранную поверхность. Её грани будут приближённо представлять куски поверхности, а её площадь даёт приближённо площадь самой искривлённой поверхности. При этом многогранная поверхность называется описанной вокруг выпуклой поверхности, если её грани лежат в опорных плоскостях к данной выпуклой поверхности и она располагается с той же стороны от каждой такой плоскости, что и данная поверхность.

Аналогично определяется многогранник, описанный вокруг выпуклого тела (рис. 248, б).

В следующих пунктах этого параграфа вычисляются площади простейших поверхностей. При этом вычисление площади сферы основано на следующем интересном предложении.

Лемма (об объёме описанного многогранника). Объём V (В) многогранника В, описанного вокруг шара радиуса Ry и площадь S (В) его поверхности связаны соотношением

V(B) = 1/3 S(B)R. (1)

Замечание. Аналогичным соотношением связаны площадь S (F) многоугольника F, описанного вокруг круга радиуса R, и его периметр Р (рис. 249, а):

S (F) = 1/2 PR.

Рис. 249

Доказательство. Опишем вокруг сферы какой-либо многогранник В. Пусть у него n граней Q1, ..., Qn. Разобьём его на пирамиды Т1, ... Тn с общей вершиной в центре шара О и с гранями Q1, ..., Qn многогранника В в основаниях (рис. 249, б).

Грань Q1 лежит в опорной плоскости сферы и, значит, перпендикулярна радиусу сферы в точке касания. Стало быть, этот радиус есть высота пирамиды T1. Значит,

V(T1) = 1/2 S(Q1)R,

где S (Q1) — площадь грани Q1.

Аналогичные равенства верны для остальных пирамид Т2, ..., Тn, Поэтому

28.2 Площадь сферы

Теорема 33. Площадь сферы радиуса R выражается формулой

S = 4πR2. (2)

Доказательство. Пусть дан шар радиуса R. Возьмём на его сфере п точек, не лежащих в одной полусфере, и проведём через них опорные плоскости к шару. Эти плоскости ограничат многогранник Вn, описанный вокруг шара.

Объём V шара приближённо равен объёму Vn многогранника Вn, а площадь S поверхности шара приближённо равна площади поверхности Sn многогранника Вn. Поэтому

Будем увеличивать число n выбранных точек и брать их всё гуще. Например, возьмём достаточно густую сеть параллелей и меридианов и выберем точки их пересечения. Тогда величина будет сколь угодно мало отличаться от числа .

С другой стороны,

при всех n (по лемме из п. 28.1).

Поэтому два числа и 1/3 R отличаются сколь угодно мало. Это возможно только в случае равенства этих чисел.

Следовательно,

Отсюда

Задачи об измерении шара и площади его поверхности были решены великим Архимедом в его сочинении «О шаре и цилиндре». Архимед для доказательства своих теорем предвосхитил методы интегрального исчисления на 2000 лет.

28.3 Площади поверхностей цилиндра и конуса

Теорема 34. Площадь боковой поверхности цилиндра вращения с высотой Н и радиусом основания R выражается формулой

Sб = 2πRH.

Доказательство. Пусть дан цилиндр вращения с высотой Н и радиусом основания R (рис. 250). Опишем вокруг цилиндра правильную n-угольную призму Вn. Её высота равна Н, а основаниями будут правильные n-угольники, описанные вокруг оснований цилиндра. Площади этих n-угольников обозначим через Sn, а периметры — через Рn.

Рис. 250

Объём V цилиндра приближённо равен объёму Vn призмы Вn, а площадь Sб боковой поверхности цилиндра приближённо равна площади боковой поверхности (Sб)n призмы Вn. Поэтому

Будем увеличивать число n. Тогда величина

будет сколь угодно мало отличаться от числа

С другой стороны,

Поэтому два числа и 1/2 R отличаются сколь угодно мало.

Это возможно только в случае равенства этих чисел. Следовательно,

Отсюда

Поскольку площадь S всей поверхности цилиндра складывается из площади боковой поверхности и площадей оснований, то

S = 2πRH + 2πR2.

Теорема 35. Площадь боковой поверхности конуса вращения с образующей поверхности L и радиусом основания R выражается формулой

Sб = πRL.

Доказательство. Пусть дан конус вращения с образующей поверхности L и радиусом основания R (рис. 251).

Рис. 251

Опишем около конуса правильную п-угольную пирамиду Вn. Её основанием будет правильный n-угольник, описанный около основания конуса. Высоты боковых граней пирамиды равны L (по теореме о трёх перпендикулярах). Поэтому площадь боковой поверхности (Sб)n пирамиды Вn:

(Sб)n = 1/2 PnL, где Рn — периметр основания пирамиды Вn. Площадь основания Вn обозначим через Sn.

Объём V конуса приближённо равен объёму Vn пирамиды Вn, площадь Sб боковой поверхности конуса приближённо равна площади боковой поверхности (Sб)n пирамиды Вn. Поэтому

Будем увеличивать число n. Тогда величина

будет сколь угодно мало отличаться от числа

Вычислим её:

Поэтому два числа и отличаются сколь угодно мало. Это возможно только в случае равенства этих чисел. Значит,

Отсюда

Прибавляя к площади боковой поверхности конуса вращения площадь его основания, получаем площадь S всей поверхности конуса вращения:

S = πRL + πR2.

Замечание. Наглядно ясно, что если боковую поверхность реального цилиндра вращения (например, консервной банки) разрезать вдоль одной образующей, то затем её можно развернуть в плоский прямоугольник (рис. 252, а).

Рис. 252

Одна сторона полученного прямоугольника равна длине образующей Н, а другая — длине окружности основания цилиндра, т. е. 2πR. Поэтому его площадь, а тем самым и площадь боковой поверхности цилиндра вращения, равна 2πRH. Аналогично развёрткой боковой поверхности конуса вращения является сектор круга радиуса L с дугой длиной 2πR (рис. 252, б). Его площадь равна πRL. Это интуитивно ясное вычисление площадей боковых поверхностей цилиндра и конуса вращения требует достаточно сложных обоснований. Например, почему при таких «развёртываниях» искривлённых поверхностей в плоские фигуры их площадь не меняется? Кроме того, лишь немногие поверхности допускают такую развёртку на плоскость. Вычислить таким способом, например, площадь сферы нельзя.

Вопросы для самоконтроля

  1. Как приближённо можно вычислить площадь искривлённой поверхности? Как повысить точность вычисления?
  2. Какой формулой связаны радиус шара, площадь поверхности описанного вокруг него многогранника и объём этого многогранника?
  3. По какой формуле вычисляют площадь:
    • а) сферы;
    • б) поверхности цилиндра;
    • в) поверхности конуса?

Задачи к § 28

Задачи к п. 28.1

  • 28.1. Докажите, что:
    • а) площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания и высоты;
    • б) площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра её перпендикулярного сечения и бокового ребра;
    • в) площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания и апофемы.
  • 28.2. Докажите, что около сферы можно описать:
    • а) куб;
    • б) правильную n-угольную пирамиду.
  • 28.3. Докажите, что сферу можно вписать в:
    • а) куб;
    • б) правильную n-угольную пирамиду;
    • в) конус.
  • 28.4.
    • а) Куб с ребром 1 разрезали на 1000 кубиков, равных между собой. Во сколько раз общая площадь поверхности полученных кубиков больше площади поверхности данного куба?
    • б) На сколько равных между собой кубиков надо разрезать данный куб, чтобы общая площадь поверхности кубиков была в 103 раз больше, чем поверхность данного куба?
  • 28.5.
    • а) Площадь поверхности одного куба больше площади поверхности другого куба. Докажите, что объём первого куба тоже больше,
    • б) Докажите утверждение, обратное а),
    • в) Установите связь между площадью поверхности куба и его объёмом, получив какую-либо формулу,
    • г) Верны ли результаты задач а) и б) для прямоугольного параллелепипеда?
  • 28.6. Через диагональ основания куба проводят сечение. В каком отношении разделилась этим сечением площадь поверхности куба, если оно:
    • а) составляет с плоскостью основания угол 30°;
    • б) проведено под углом 60° к основанию;
    • в) параллельно диагонали куба;
    • г) перпендикулярно диагонали куба?
  • 28.7. В правильной четырёхугольной призме диагональ равна 1. При каком угле между диагональю и плоскостью основания призма имеет наибольшую площадь боковой поверхности?
  • 28.8.
    • а) Площадь поверхности правильной четырёхугольной призмы равна 6. В каких границах находится её объём?
    • б) Объём правильной четырёхугольной призмы равен 1. В каких границах находится площадь её поверхности?
  • 28.9. Деревянный брус имел вид прямой треугольной призмы. Сделали два поперечных и параллельных между собой его распила, и получилась наклонная треугольная призма. Как найти площадь её поверхности, сделав как можно меньше измерений?
  • 28.10. В призме АВСА1В1С1 основание ABC — правильный треугольник со стороной 1, а боковое ребро равно 2. Вычислите площадь её поверхности, если:
    • а) грань АА1С1С — прямоугольник, плоскость которого составляет с основанием угол 60°;
    • б) вершина В1 проектируется в центр треугольника ABC.
  • 28.11. Как вычислить площадь боковой поверхности правильной треугольной (четырёхугольной) усечённой пирамиды, у которой известны стороны оснований и:
    • а) боковое ребро;
    • 6) угол бокового ребра с основанием;
    • в) угол между боковой гранью и основанием;
    • г) высота;
    • д) угол между противоположными боковыми гранями (для четырёхугольной пирамиды)?
  • 28.12. Объём правильной треугольной пирамиды равен 4√3. Какой угол φ составляет боковая грань с основанием, когда площадь боковой поверхности наименьшая?
  • 28.13. Объём правильной четырёхугольной пирамиды равен 4. При каком угле φ между боковой гранью и основанием площадь её боковой поверхности становится наименьшей?
  • 28.14. Какие измерения надо сделать на проекциях многогранника (см. рис. 247), чтобы вычислить площадь его поверхности?
  • 28.15. Вычислите радиус сферы, вписанной в:
    • а) правильный тетраэдр с ребром 2;
    • б) правильную четырёхугольную пирамиду с ребром основания 2 и боковым ребром 3.
  • 28.16. Можно ли описать около сферы:
    • а) куб; б) прямую треугольную призму;
    • в) наклонный параллелепипед;
    • г) правильную пирамиду;
    • д) правильную усечённую пирамиду? Какие для этого должны выполняться условия?

Задачи к п. 28.2

  • 28.17. Из формулы для площади сферы выразите её радиус.
  • 28.18.
    • а) Выразите объём шара через площадь его поверхности,
    • б) Запишите обратную зависимость,
    • в) Пусть объём шара начал расти. Как изменится при этом площадь его поверхности?
    • г) Решите задачу, обратную данной в п. в),
    • д) Пусть площадь поверхности шара увеличилась в два раза. Как изменился его объём?
    • е) Пусть объём шара уменьшился в три раза. Как изменилась площадь его поверхности?
    • ж) Может ли объём шара численно равняться площади его сферы?
  • 28.19. Окрашены два шара. Радиус одного в два раза больше радиуса другого. Во сколько раз больше ушло на него краски?
  • 28.20. Из шара площадью поверхности 1 см2 сделали какое-то число одинаковых шариков. Может ли суммарная площадь их поверхностей быть больше, чем 1 м2?
  • 28.21. Площадь поверхности шара равна S. Чему равна площадь поверхности полушара?
  • 28.22. Пусть радиус шара равен 1. Чему равна площадь поверхности части шара, которая получилась после проведения в нём:
    • а) сечения, проходящего через диаметр;
    • б) двух перпендикулярных сечений, проходящих через один диаметр;
    • в) трёх попарно перпендикулярных сечений, проходящих через его центр?
  • 28.23. Пусть радиус сферы увеличивается,
    • а) Докажите, что скорость изменения площади сферы пропорциональна радиусу,
    • б) Докажите, что скорость изменения объёма шара равна площади его сферы.

Задачи к п. 28.3

  • 28.24. Вычислите площадь поверхности цилиндра, у которого:
    • а) осевое сечение — квадрат со стороной 2;
    • б) развёртка боковой поверхности — прямоугольник со сторонами 2 и 3.
  • 28.25.
    • а) Запишите формулу для площади боковой поверхности цилиндра. Выразите из неё R, Н.
    • б) Пусть известна площадь боковой поверхности цилиндра. Можно ли найти площадь поверхности цилиндра; его объём?
    • в) Известна площадь поверхности цилиндра. Можно ли найти его объём?
    • г) Известен объём цилиндра. Можно ли найти площадь его боковой поверхности; его поверхности?
  • 28.26. Радиус основания цилиндра растёт, а образующая постоянна. Докажите, что:
    • а) скорость роста площади боковой поверхности постоянна;
    • б) скорость роста объёма пропорциональна площади боковой поверхности;
    • в) скорость роста площади поверхности линейно зависит от радиуса.
  • 28.27. Из двух равных цилиндров сделали тело (рис. 253). Как найти площадь поверхности этого тела? Как найти его объём?

    Рис. 253

  • 28.28. Объём цилиндра равен 16π.
    1. Каковы размеры его осевого сечения, когда площадь его поверхности наименьшая?
    2. В каких границах находится площадь его поверхности, если радиус основания цилиндра лежит в промежутке:
      • а) (0; 1);
      • б) [1; 4];
      • в) [4; ∞)?
  • 28.29. Площадь поверхности цилиндра равна 54π.
    1. Какова форма его осевого сечения, когда его объём наибольший?
    2. В каких границах находится объём, если радиус основания цилиндра лежит в промежутке:
      • а) [1; 4];
      • б) [2; 5];
      • в) [4; 5]?
  • 28.30. Чему равна площадь поверхности конуса, у которого:
    • а) осевое сечение — равносторонний треугольник со стороной 2;
    • б) развёртка боковой поверхности — четверть круга радиуса 1;
    • в) развёртка боковой поверхности — полукруг радиуса R;
    • г) образующая равна L и образует с основанием угол φ?
  • 28.31.
    • а) Запишите формулу для площади боковой поверхности конуса S6. Выразите из неё R, L.
    • б) Известна площадь боковой поверхности конуса S6. Можно ли найти площадь его поверхности S; его объём V?
    • в) Известна S. Можно ли найти S6 и V?
    • г) Известен объём V. Можно ли найти S и S6?
  • 28.32. Определите, каким числом может быть отношение площади основания конуса и площади его боковой поверхности.
  • 28.33. Образующая конуса равна 1. В каких границах находится площадь его:
    • а) боковой поверхности;
    • б) поверхности?
  • 28.34. Периметр осевого сечения конуса равен 2. Определите, в каких границах лежит площадь его боковой поверхности.
  • 28.35. Объём конуса равен 36л. Какой угол образует с плоскостью основания образующая его поверхности, когда площадь боковой поверхности наименьшая?
  • 28.36. Найдите площадь поверхности конуса, вписанного в шар радиуса 2, если его основание удалено от центра шара на 1.
  • 28.37. Даны радиусы оснований г и Я усечённого конуса и его образующая L. Найдите площадь его боковой поверхности.
  • 28.38. Прикладная геометрия! Лампа имеет абажур в виде боковой поверхности усечённого конуса. Как узнать, сколько материала пошло на абажур?
  • 28.39. Как вычислить площадь поверхности тела вращения, полученного вращением:
    1. равностороннего треугольника вокруг:
      • а) высоты;
      • б) стороны;
      • в) прямой, проходящей через вершину и параллельной его высоте;
      • г) прямой, параллельной его стороне;
    2. квадрата вокруг:
      • а) диагонали;
      • б) прямой, проходящей через вершину квадрата и параллельной диагонали;
    3. ромба вокруг диагонали;
    4. прямоугольника вокруг диагонали;
    5. прямоугольной трапеции вокруг:
      • а) наименьшей боковой стороны;
      • 6) основания;
    6. равнобедренной трапеции вокруг:
      • а) оси симметрии;
      • б) основания;
      • в) боковой стороны?


Рейтинг@Mail.ru