Геометрия
10-11 классы

       

Задачи к § 28

Задачи к п. 28.1

  • 28.1. Докажите, что:
    • а) площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания и высоты;
    • б) площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра её перпендикулярного сечения и бокового ребра;
    • в) площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания и апофемы.
  • 28.2. Докажите, что около сферы можно описать:
    • а) куб;
    • б) правильную n-угольную пирамиду.
  • 28.3. Докажите, что сферу можно вписать в:
    • а) куб;
    • б) правильную n-угольную пирамиду;
    • в) конус.
  • 28.4.
    • а) Куб с ребром 1 разрезали на 1000 кубиков, равных между собой. Во сколько раз общая площадь поверхности полученных кубиков больше площади поверхности данного куба?
    • б) На сколько равных между собой кубиков надо разрезать данный куб, чтобы общая площадь поверхности кубиков была в 103 раз больше, чем поверхность данного куба?
  • 28.5.
    • а) Площадь поверхности одного куба больше площади поверхности другого куба. Докажите, что объём первого куба тоже больше,
    • б) Докажите утверждение, обратное а),
    • в) Установите связь между площадью поверхности куба и его объёмом, получив какую-либо формулу,
    • г) Верны ли результаты задач а) и б) для прямоугольного параллелепипеда?
  • 28.6. Через диагональ основания куба проводят сечение. В каком отношении разделилась этим сечением площадь поверхности куба, если оно:
    • а) составляет с плоскостью основания угол 30°;
    • б) проведено под углом 60° к основанию;
    • в) параллельно диагонали куба;
    • г) перпендикулярно диагонали куба?
  • 28.7. В правильной четырёхугольной призме диагональ равна 1. При каком угле между диагональю и плоскостью основания призма имеет наибольшую площадь боковой поверхности?
  • 28.8.
    • а) Площадь поверхности правильной четырёхугольной призмы равна 6. В каких границах находится её объём?
    • б) Объём правильной четырёхугольной призмы равен 1. В каких границах находится площадь её поверхности?
  • 28.9. Деревянный брус имел вид прямой треугольной призмы. Сделали два поперечных и параллельных между собой его распила, и получилась наклонная треугольная призма. Как найти площадь её поверхности, сделав как можно меньше измерений?
  • 28.10. В призме АВСА1В1С1 основание ABC — правильный треугольник со стороной 1, а боковое ребро равно 2. Вычислите площадь её поверхности, если:
    • а) грань АА1С1С — прямоугольник, плоскость которого составляет с основанием угол 60°;
    • б) вершина В1 проектируется в центр треугольника ABC.
  • 28.11. Как вычислить площадь боковой поверхности правильной треугольной (четырёхугольной) усечённой пирамиды, у которой известны стороны оснований и:
    • а) боковое ребро;
    • 6) угол бокового ребра с основанием;
    • в) угол между боковой гранью и основанием;
    • г) высота;
    • д) угол между противоположными боковыми гранями (для четырёхугольной пирамиды)?
  • 28.12. Объём правильной треугольной пирамиды равен 4√3. Какой угол φ составляет боковая грань с основанием, когда площадь боковой поверхности наименьшая?
  • 28.13. Объём правильной четырёхугольной пирамиды равен 4. При каком угле φ между боковой гранью и основанием площадь её боковой поверхности становится наименьшей?
  • 28.14. Какие измерения надо сделать на проекциях многогранника (см. рис. 247), чтобы вычислить площадь его поверхности?
  • 28.15. Вычислите радиус сферы, вписанной в:
    • а) правильный тетраэдр с ребром 2;
    • б) правильную четырёхугольную пирамиду с ребром основания 2 и боковым ребром 3.
  • 28.16. Можно ли описать около сферы:
    • а) куб; б) прямую треугольную призму;
    • в) наклонный параллелепипед;
    • г) правильную пирамиду;
    • д) правильную усечённую пирамиду? Какие для этого должны выполняться условия?

Задачи к п. 28.2

  • 28.17. Из формулы для площади сферы выразите её радиус.
  • 28.18.
    • а) Выразите объём шара через площадь его поверхности,
    • б) Запишите обратную зависимость,
    • в) Пусть объём шара начал расти. Как изменится при этом площадь его поверхности?
    • г) Решите задачу, обратную данной в п. в),
    • д) Пусть площадь поверхности шара увеличилась в два раза. Как изменился его объём?
    • е) Пусть объём шара уменьшился в три раза. Как изменилась площадь его поверхности?
    • ж) Может ли объём шара численно равняться площади его сферы?
  • 28.19. Окрашены два шара. Радиус одного в два раза больше радиуса другого. Во сколько раз больше ушло на него краски?
  • 28.20. Из шара площадью поверхности 1 см2 сделали какое-то число одинаковых шариков. Может ли суммарная площадь их поверхностей быть больше, чем 1 м2?
  • 28.21. Площадь поверхности шара равна S. Чему равна площадь поверхности полушара?
  • 28.22. Пусть радиус шара равен 1. Чему равна площадь поверхности части шара, которая получилась после проведения в нём:
    • а) сечения, проходящего через диаметр;
    • б) двух перпендикулярных сечений, проходящих через один диаметр;
    • в) трёх попарно перпендикулярных сечений, проходящих через его центр?
  • 28.23. Пусть радиус сферы увеличивается,
    • а) Докажите, что скорость изменения площади сферы пропорциональна радиусу,
    • б) Докажите, что скорость изменения объёма шара равна площади его сферы.

Задачи к п. 28.3

  • 28.24. Вычислите площадь поверхности цилиндра, у которого:
    • а) осевое сечение — квадрат со стороной 2;
    • б) развёртка боковой поверхности — прямоугольник со сторонами 2 и 3.
  • 28.25.
    • а) Запишите формулу для площади боковой поверхности цилиндра. Выразите из неё R, Н.
    • б) Пусть известна площадь боковой поверхности цилиндра. Можно ли найти площадь поверхности цилиндра; его объём?
    • в) Известна площадь поверхности цилиндра. Можно ли найти его объём?
    • г) Известен объём цилиндра. Можно ли найти площадь его боковой поверхности; его поверхности?
  • 28.26. Радиус основания цилиндра растёт, а образующая постоянна. Докажите, что:
    • а) скорость роста площади боковой поверхности постоянна;
    • б) скорость роста объёма пропорциональна площади боковой поверхности;
    • в) скорость роста площади поверхности линейно зависит от радиуса.
  • 28.27. Из двух равных цилиндров сделали тело (рис. 253). Как найти площадь поверхности этого тела? Как найти его объём?

    Рис. 253

  • 28.28. Объём цилиндра равен 16π.
    1. Каковы размеры его осевого сечения, когда площадь его поверхности наименьшая?
    2. В каких границах находится площадь его поверхности, если радиус основания цилиндра лежит в промежутке:
      • а) (0; 1);
      • б) [1; 4];
      • в) [4; ∞)?
  • 28.29. Площадь поверхности цилиндра равна 54π.
    1. Какова форма его осевого сечения, когда его объём наибольший?
    2. В каких границах находится объём, если радиус основания цилиндра лежит в промежутке:
      • а) [1; 4];
      • б) [2; 5];
      • в) [4; 5]?
  • 28.30. Чему равна площадь поверхности конуса, у которого:
    • а) осевое сечение — равносторонний треугольник со стороной 2;
    • б) развёртка боковой поверхности — четверть круга радиуса 1;
    • в) развёртка боковой поверхности — полукруг радиуса R;
    • г) образующая равна L и образует с основанием угол φ?
  • 28.31.
    • а) Запишите формулу для площади боковой поверхности конуса S6. Выразите из неё R, L.
    • б) Известна площадь боковой поверхности конуса S6. Можно ли найти площадь его поверхности S; его объём V?
    • в) Известна S. Можно ли найти S6 и V?
    • г) Известен объём V. Можно ли найти S и S6?
  • 28.32. Определите, каким числом может быть отношение площади основания конуса и площади его боковой поверхности.
  • 28.33. Образующая конуса равна 1. В каких границах находится площадь его:
    • а) боковой поверхности;
    • б) поверхности?
  • 28.34. Периметр осевого сечения конуса равен 2. Определите, в каких границах лежит площадь его боковой поверхности.
  • 28.35. Объём конуса равен 36л. Какой угол образует с плоскостью основания образующая его поверхности, когда площадь боковой поверхности наименьшая?
  • 28.36. Найдите площадь поверхности конуса, вписанного в шар радиуса 2, если его основание удалено от центра шара на 1.
  • 28.37. Даны радиусы оснований г и Я усечённого конуса и его образующая L. Найдите площадь его боковой поверхности.
  • 28.38. Прикладная геометрия! Лампа имеет абажур в виде боковой поверхности усечённого конуса. Как узнать, сколько материала пошло на абажур?
  • 28.39. Как вычислить площадь поверхности тела вращения, полученного вращением:
    1. равностороннего треугольника вокруг:
      • а) высоты;
      • б) стороны;
      • в) прямой, проходящей через вершину и параллельной его высоте;
      • г) прямой, параллельной его стороне;
    2. квадрата вокруг:
      • а) диагонали;
      • б) прямой, проходящей через вершину квадрата и параллельной диагонали;
    3. ромба вокруг диагонали;
    4. прямоугольника вокруг диагонали;
    5. прямоугольной трапеции вокруг:
      • а) наименьшей боковой стороны;
      • 6) основания;
    6. равнобедренной трапеции вокруг:
      • а) оси симметрии;
      • б) основания;
      • в) боковой стороны?

Рейтинг@Mail.ru