Геометрия
10-11 классы

       

§ 26. Зависимость объёма тела от площадей его сечений

26.1 Объём прямого цилиндра

Теорема 28. Объём прямого цилиндра равен произведению площади его основания и высоты:

V = SH.

Доказательство. Вывод формулы V = SH разобьём на несколько шагов.

Шаг 1. Для частного случая прямого цилиндра (рис. 240, а) — для прямоугольного параллелепипеда — формула V = SH вам хорошо известна.

Рис. 240

Шаг 2. Рассмотрим теперь прямую треугольную призму. На рисунке 240, б показано, как построить прямоугольный параллелепипед, сложенный из тех же частей, что и эта призма (подобно тому, как любой треугольник можно перестроить в прямоугольник, рис. 241, а). Этот прямоугольный параллелепипед и рассматриваемая призма равновелики, а также равновелики их основания. Высоты же их равны. Поэтому снова имеем формулу V = SH.

Шаг 3. Далее рассмотрим произвольную прямую призму Q (рис. 241, б). Её можно разбить на прямые треугольные призмы Q1, Q2, ... Qn, разбивая её основание на треугольники Т1, Т2, ... ... Тn. Тогда

Шаг 4. Наконец, расмотрим общий случай: прямой цилиндр С, основанием которого является фигура F с площадью S, а высота которого равна Н (рис. 241, в). Построим последовательность многоугольников Рn, содержащихся в фигуре F и «исчерпывающих» эту фигуру. Их площади S (Рn) сходятся к S. Прямые призмы Qn с основаниями Рn и высотой Н «исчерпывают» цилиндр С. Объёмы Vn этих призм сходятся к V. Так как Vn = S (Рn) Н, то, переходя в этом равенстве к пределу, получаем, что V = SH.

26.2 Зависимость объёма тела от площадей его сечений

Для вычисления объёмов тел, более сложных, чем прямой цилиндр, мы воспользуемся понятием производной. При этом мы рассматриваем лишь такие тела, которые разбиваются параллельными сечениями на достаточно тонкие слои, каждый из которых приближённо можно считать прямым цилиндром.

Рассмотрим некоторое тело Т, лежащее между параллельными опорными плоскостями α и β, и пусть α (х) — плоскость, лежащая между ними и удалённая от α на расстояние х (рис. 242, а). Расстояние между плоскостями α и β полагаем равным Н.

Рис. 242

Для х из промежутка [О, Н] обозначим через S (х) площадь сечения тела Т плоскостью α (x) (рис. 242, б), а объём части тела Т, лежащей между плоскостями α и α (х), обозначим через V (x).

Полагаем, что V(0) = 0. Функцию V (х) считаем дифференцируемой на промежутке [О, Н]. Ясно, что V (Н) — объём всего тела Т.

Теорема 29 (об объёме тела). Производная функции V (х) равна площади сечения S (х), т. е. для любого х из промежутка [О, Н] имеет место равенство

V' (x) = S (x). (1)

Доказательство. Фиксируем значение х из интервала (0, H), выберем Δх > 0 и рассмотрим слой ΔТ тела Т между плоскостями а (х) и а(х + Δх) (рис. 242, в). Если Δх достаточно мало, то слой ΔТ можно рассматривать приближённо как прямой цилиндр с высотой Δх. Поэтому ΔV = V (x + Δх) - V (х) ≈ S (х) Δх,

Устремив к нулю Δх, получаем равенство V' (x) = S (x).

В следующем параграфе мы выведем формулы для вычисления объёмов различных тел, решая уравнение (1). Функция S (х), стоящая в правой части этого уравнения, будет известна. В левой части уравнения (1) будет стоять производная неизвестной нам функции V (x). Функцию V (x) мы и будем искать. Такие уравнения, в которых неизвестными являются функции и которые содержат их производные, называются дифференциальными уравнениями, а процесс их решения называется интегрированием дифференциальных уравнений.

Мы ищем функцию V (х) по её производной S (х), т. е. ищем первообразную функции S (х). Интегрирование дифференциального уравнения сводится в этом случае к отысканию функции, производная которой известна. Такая операция является обратной к операции нахождения производной — операции дифференцирования.

С дифференциальными уравнениями вы могли познакомиться, изучая физику: например, мы ищем путь, пройденный некоторым телом за данный промежуток времени, зная скорость этого тела в каждый момент времени (вспомните механический смысл производной).

Геометры, однако, умели вычислять объёмы (причём довольно сложных фигур) и до того, как познакомились с производными и первообразными. Как же они это делали? Давайте, глядя на рисунок 242, б, представим себе тело Т как объединение большого числа N его тонких слоёв между очень близкими параллельными сечениями с постоянной толщиной Δх. Тогда объём всего тела Т будет суммой объёмов этих слоёв, а каждый i-й слой можно считать прямым цилиндром, площадь основания которого равна S (х1), а высота равна Δх. Приближённое значение объёма V тела Т будет равно сумме

S (x1) Δх + S (х2) Δх + ... + S (x2) Δх.

Предельное значение этой суммы при Δх → О и даст значение объёма. Таким способом вычислял объёмы тел великий древнегреческий геометр Архимед (ок. 287—212 гг. до н. э.).

Вопросы для самоконтроля

  1. Как вычислить объём прямого цилиндра?
  2. Как вычислить объём прямой призмы?
  3. Как можно считать объём тела, используя первообразную?

Рейтинг@Mail.ru