Учебник для 10-11 классов

ГЕОМЕТРИЯ

§ 25. Определение объёма

25.1 Простые тела

Ясно, что одинаковые тела имеют равные объёмы, а когда из двух тел составляется одно, то их объёмы складываются.

Но мыслимые в геометрии тела могут быть настолько сложно устроены, что приписать им всем объём с указанными свойствами нельзя. Поэтому выделим простые тела.

Тело назовём простым, если каждая прямая, имеющая с телом общие точки, пересекает его поверхность по конечному числу отрезков и отдельных точек.

Очевидно, что многогранник является простым телом.

Приведём пример непростого тела. Возьмём в какой-либо плоскости α спираль с бесконечным числом витков, скручивающуюся в некоторой точке О (рис. 239, а). Вокруг этой спирали построим «улитку», также скручивающуюся к этой точке О (рис. 239, б). Любая прямая, проходящая через О в плоскости α, пересекает поверхность «улитки» по бесконечному числу точек.

Рис. 239

Будем говорить, что тело составлено из нескольких тел, если общими точками любых двух из этих составляющих тел являются разве лишь точки их поверхностей.

В этой главе мы будем вычислять объёмы лишь простых тел, слово «простой» опускаем и говорим просто о телах.

25.2 Определение объёма

Объёмом тела называется положительная величина, определённая для тела так, что:

1. равные тела имеют равные объёмы;
2. если тело составлено из конечного числа тел, то его объём равен сумме их объёмов.

Эти два свойства — основные свойства объёма.

Замечание. Длина отрезка характеризуется такими же свойствами — это положительная величина, определённая для каждого отрезка так, что:

1. равные отрезки имеют равные длины;
2. если отрезок составлен из конечного числа отрезков, то его длина равна сумме длин слагаемых отрезков.

И площади простых плоских фигур характеризуются теми же свойствами.

Несмотря на сходство основных свойств, площади, объёмы и длины отрезков — это разные величины, так как относятся к разным объектам.

Длины, площади и объёмы измеряются в разных единицах. Эти единицы согласуются друг с другом следующим образом: если единичный отрезок выбран, то за единицу измерения площади принимают площадь единичного квадрата, а за единицу измерения объёма — объём единичного куба.

Единичный куб — это куб, ребро которого — единичный отрезок. Аналогично определяется единичный квадрат. Так принято в геометрии. На практике же применяют разные единицы: длину измеряют метрами, миллиметрами, дюймами, световыми годами и т.д.; площадь — квадратными метрами, гектарами, сотками; объёмы — кубическими метрами, литрами, галлонами и т. д.

Мы выберем раз и навсегда единичный отрезок, а вместе с ним единичный квадрат и единичный куб. Тогда под длинами, площадями и объёмами будем понимать их численные значения в этих единицах. Эти значения определены однозначно.

Равновеликими называются тела, объёмы которых равны.

Вопросы для самоконтроля

1. Какие основные свойства имеет объём?
2. В чём разница между объёмом и площадью?
3. Какие фигуры называются равновеликими?
4. Что принято за единицу объёма?