Геометрия
10-11 классы

Задачи к главе IV

IV.1. Найдите двугранные углы правильных многогранников.

IV.2. Вычислите радиусы описанной и вписанной сфер правильных многогранников с ребром 1.

IV.3. Сколькими различными способами можно совместить движением правильный многогранник сам с собой?

IV.4. Дана прямая треугольная призма ABCA1B1C1, |АВ| = |ВС| = |ВВ1| = 1, ∠ ABC = 90°.

  1. Нарисуйте её плоскости симметрии.
  2. Установите форму её сечения плоскостью:
    • а) перпендикулярной (АВ);
    • б) параллельной (АА1С1);
    • в) параллельной плоскости симметрии, проходящей через ВВ1;
    • г) проходящей через (A1C1).
  3. Вычислите расстояния:
    • а) |B1К1|, где К — середина АС;
    • б) от С до (АА1В1);
    • в) от В1 до (А1ВС1);
    • г) от (ВВ1) до грани АА1С1С.
  1. Найдите угол φ между:
    • а) (А1В) и (АВС);
    • б) (АС) и (ВВ1С1);
    • в) (В1С) и (А1ВВ1);
    • г) (АВ1С) и (АВС);
    • д) (АВ1С1) и (АВС);
    • е) (АВ1C1) и (СВ1А1).
  2. Какова площадь сечения, составляющего с основанием угол 60°, проходящего через AС?
  3. В каких границах лежат площади сечений, рассмотренных в п. 2 (а, б, в)?
  4. Можно ли описать вокруг этой призмы сферу? вписать в неё сферу? Если можно, то каков её радиус?

IV.5. Дан тетраэдр РАВС, |ВА| = |ВС| = |ВР| = 1, (BP) ⊥ (ABC), (АВ) ⊥ (ВС).

  1. Нарисуйте его плоскости симметрии.
  2. Установите форму сечения плоскостью, проходящей:
    • а) через (АВ);
    • б) через (AС);
    • в) параллельно (РАС);
    • г) через В параллельно (АС).
  3. Вычислите расстояния:
    • а) от С до (РАВ);
    • б) от В до (РАС);
    • в) между (РВ) и (АС).
  4. Вычислите углы между:
    • а) (PC) и плоскостями граней;
    • б) (PC) и (АВ);
    • в) (АРС) и плоскостями граней;
    • г) двумя плоскостями симметрии.
  5. Найдите площадь сечения, проходящего через (РА) под углом φ к (РАВ).
  6. В каких границах лежат площади сечений, рассмотренных в задаче из п. 2 (а, б, в)?
    • а) Вычислите радиус сферы, описанной около тетраэдра,
    • б) Вычислите радиус сферы, вписанной в тетраэдр.

IV.6. В пирамиде PABCD основание ABCD — квадрат со стороной 1, точка Р проектируется в точку В, РВ = 1.

  1. Нарисуйте плоскость симметрии пирамиды.
  2. Установите форму сечения пирамиды плоскостью, проходящей:
    • а) через РВ;
    • б) через AD;
    • в) перпендикулярно РВ;
    • г) параллельно (РАВ).
  3. Вычислите расстояния:
    • a) |PD|;
    • б) |Р(АС)|;
    • в) |В (PAD)|;
    • г) |D(PAC)|;
    • д) |А (PCD)|.
  4. Вычислите углы:
    • а) между боковыми рёбрами и основанием;
    • б) между боковыми гранями и основанием;
    • в) между боковыми гранями;
    • г) между (РА) и (CD);
    • д) между (PD) и (АС).
  5. Вычислите площадь сечения, проходящего через АС под углом ср к основанию и пересекающего РВ.
  6. Можно ли описать вокруг пирамиды сферу? А вписать? Если да, то каков её радиус?

IV.7. В пирамиде PABCD основание ABCD — прямоугольник, точка Р проектируется в его центр О, PQ = QC= 1, ∠CQD = 60°.

  1. Нарисуйте плоскости симметрии пирамиды.
  2. Установите форму сечения пирамиды плоскостью, проходящей:
    • а) перпендикулярно PQ;
    • б) через АС;
    • в) через AD;
    • г) перпендикулярно BD;
    • д) параллельно РО и CD.
  3. Вычислите расстояния:
    • a) |C(BPD)|;
    • б) |С(APD)|;
    • в) |(ВС) (APD)|.
  4. Вычислите углы между:
    • а) боковым ребром и основанием;
    • б) боковой гранью и основанием;
    • в) (PBD) и (РАС);
    • г) (APD) и (BСР);
    • д) [РА) и (CD).
  5. Вычислите площадь сечения, проходящего через (AD) под углом 30° к основанию.
  6. В каких границах лежат площади сечений из п. 2 (задачи а, б, в, д)?
  7. Можно ли вокруг пирамиды описать сферу? вписать в неё сферу? Если да, то чему равны их радиусы?

IV.8. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 проведены сечения A1BD и CB1D1.

  • а) Докажите, что диагональ AС1 делится ими на три равные части,
  • б) Докажите, что она пересекает эти сечения в точках пересечения медиан.

Итоги главы IV

В главе IV завершается знакомство со стереометрическими фигурами элементарной геометрии. Многогранники — наиболее сложные из тел классической элементарной геометрии. Их изучение хорошо демонстрирует те вопросы, которые появляются при переходе в геометрии от наглядных описаний к точным формулировкам. Даже для разъяснения краткого определения многогранника как тела, граница которого состоит из конечного числа многоугольников, требуется объяснить: что такое тело, что такое граница (п. 23.1), а также что такое многоугольник. А дальше вопросы появляются при определении элементов многогранника — граней, рёбер, вершин и т. д. (п. 23.2). Не так элементарна элементарная геометрия!

Материал главы IV во многом описательный. Теорем в ней всего две — простая теорема 26 о правильной пирамиде (п. 22.2) и сложная теорема 27 о том, что поворот в пространстве является движением (п. 24.4).

В главе IV рассказано об общем понятии симметрии фигуры (п. 24.5) и много места отведено рассказу о симметрии правильных призм, правильных пирамид, правильных многогранников (п. 24.6 и 24.7).


Рейтинг@Mail.ru