22.1. Докажите, что в правильной треугольной (четырёхугольной) пирамиде:
а) проекция высоты на боковую грань лежит на апофеме пирамиды;
б) угол между боковым ребром и плоскостью основания один и тот же для всех боковых рёбер;
в) угол между боковой гранью и основанием один и тот же для всех боковых граней;
г) все углы между соседними боковыми гранями равны.
(Апофема правильной пирамиды — это высота в боковой её грани, проведённая из вершины пирамиды.)
22.2.
a) Докажите, что вокруг правильной n-угольной пирамиды можно описать сферу (для n = 3 и n = 4).
б) Докажите, что в правильную n-угольную пирамиду можно вписать сферу (для n = 3 и n = 4).
22.3. В правильной n-угольной пирамиде (n = 3 и n = 4) известны сторона основания и плоский угол при вершине. Как найти:
а) высоту пирамиды;
б) радиус описанной сферы;
в) радиус вписанной сферы;
г) угол между боковым ребром и плоскостью основания;
д) угол между боковой гранью и основанием;
е) угол между соседними боковыми гранями?
22.4. В правильной треугольной (четырёхугольной) пирамиде известны сторона основания и боковое ребро. Как найти:
а) высоту пирамиды;
б) угол между боковым ребром и основанием;
в) угол между боковой гранью и основанием?
22.5. Сколько вершин, рёбер и граней имеет:
а) n-угольная пирамида;
б) n-угольная усечённая пирамида?
22.6. Нарисуйте проекцию правильной треугольной пирамиды на плоскость:
а) основания;
б) проходящую через боковое ребро и высоту.
22.7. В правильной треугольной пирамиде известны сторона основания и высота. Как вычислить площадь сечения, проходящего:
а) параллельно основанию через середину высоты;
б) через боковое ребро и высоту;
в) через сторону основания перпендикулярно боковому ребру;
г) через центр основания параллельно боковой грани;
д) через середины четырёх рёбер?
22.8. Нарисуйте проекцию правильной четырёхугольной пирамиды на плоскость:
а) основания;
б) проходящую через апофемы противоположных граней;
в) боковой грани.
22.9. В правильной четырёхугольной пирамиде известны сторона основания и высота. Как вычислить площадь сечения, проходящего через:
а) середину высоты параллельно основанию;
б) диагональ основания перпендикулярно боковому ребру;
в) диагональ основания параллельно боковому ребру;
г) центр основания параллельно боковой грани;
д) сторону основания перпендикулярно противоположной боковой грани?
Решение. д) Пусть PABCD — правильная четырёхугольная пирамида со стороной основания а и высотой PO = h (рис. 197, а). Проведём через CD сечение, плоскость которого перпендикулярна грани РАВ. Плоскость этого сечения содержит все перпендикуляры, опущенные из точек ребра CD на плоскость грани РАВ (почему?). В частности, она содержит перпендикуляр LM, проведённый из середины L ребра CD на плоскость грани РАВ. Он является высотой треугольника PKL, где точка К — середина ребра АВ (почему?).
Рис. 197
Рассмотрим основной случай, когда точка М лежит внутри высоты РК треугольника РАВ. (Если М = Р, то сечение — грань PCD, а если М вне РК, то сечение вырождается в отрезок CD.) Если М лежит внутри РК, то в сечении получаем трапецию CDD1C1. Действительно, C1D1||CD (поскольку CD||(PAB)) и C1D1 < CD. Высотой этой трапеции является отрезок LM (почему?). Значит, её площадь S вычисляется так:
Найдём LM и C1D1. Поскольку KL • PO = LM • PK (рис. 197,6), то
При этом
Далее, C1D1 : АВ = РМ : РК. Поэтому
Отрезок РМ находим как разность РМ = РК - КМ. Используем подобие треугольников KML и КОР, находим КМ из пропорции
в которой KL = a, КО = a/2, а РК также известно. Подставьте найденные величины в равенство (1) и найдите формулу для площади S. Заметим, что точка М лежит внутри отрезка РК, если ∠PKO > 45°, т. е. когда Н > a/2.
