|
|
Учебник для 10-11 классов ГЕОМЕТРИЯ§ 22. Пирамида22.1 Пирамида — частный случай конуса Что такое пирамида, нам уже известно. О том, как построить пирамиду, было сказано в п. 5.5. Из этого построения видно, что пирамида является конусом, основание которого — многоугольник. Поэтому можно дать такое определение: пирамидой называется конус, основание которого — многоугольник (см. рис. 67).
Боковая поверхность пирамиды состоит из всех её образующих, которые соединяют вершину с точками на границе основания. Ясно, что боковая поверхность состоит из треугольников, имеющих общую точку — вершину пирамиды. Эти треугольники называются боковыми гранями, а их стороны, не лежащие в основании, — боковыми рёбрами пирамиды. Поверхность пирамиды состоит из основания пирамиды и её боковой поверхности. Усечённая пирамида получается так же, как получается усечённый конус из конуса: отсечением меньшей пирамиды плоскостью, параллельной основанию исходной пирамиды. Всё сказанное об усечённом конусе относится и к усечённым пирамидам (рис. 193).
Рис. 193 22.2 Правильная пирамида Напомним, что пирамида называется правильной, если её основание — правильный многоугольник и все её боковые рёбра равны. Поэтому все боковые грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники с вершиной в вершине пирамиды. (Напомним, что правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр не одно и то же. Правильный тетраэдр является правильной треугольной пирамидой, но не наоборот!) Согласно данному определению правильной пирамиды о любой пирамиде по её внешнему виду можно судить, правильная она или нет: достаточно произвести необходимые измерения на её гранях. Но это определение, как уже отмечалось в п. 5.5, не даёт способа построения правильных пирамид. Ответ на этот вопрос мы получим, установив в следующей теореме характерное свойство правильной пирамиды.
Доказательство. Пусть Т — правильная пирамида с вершиной Р и основанием F. Опустим из точки Р перпендикуляр РО на плоскость α основания F. Возьмём любые две вершины А и В основания F и проведём отрезки О А и ОБ, получим прямоугольные треугольники РОА и РОВ (рис. 194). Эти треугольники равны, так как они имеют равные гипотенузы РА и РВ и общий катет РО. Следовательно, равны и другие их катеты, т. е. ОА = ОВ. Итак, проекция вершины Р пирамиды Т на плоскость а равноудалена от всех вершин правильного многоугольника F. Поэтому точка О является центром многоугольника F.
Рис. 194 Итак, доказано, что вершина правильной пирамиды проектируется в центр её основания. Рассмотрим теперь пирамиду Т, основание которой — правильный многоугольник F и вершина которой Р проектируется в его центр — точку О. Снова берём две произвольные вершины А и В основания F и рассматриваем прямоугольные треугольники РОА и РОВ. Теперь в этих треугольниках общий катет РО и равные катеты О А и ОБ (поскольку О — центр правильного многоугольника F). Следовательно, опять ∠РОА = ∠РОВ. Поэтому РА = РВ. Значит, все боковые рёбра пирамиды Т равны, т. е. пирамида Т правильная. Доказанная теорема показывает, что правильную пирамиду можно определить как такую пирамиду, у которой основание — правильный многоугольник и вершина проектируется в его центр. Теперь ясно, как построить правильную пирамиду. Надо взять правильный многоугольник F и из его центра О провести какой-нибудь перпендикуляр ОР к плоскости многоугольника F. Точка Р будет вершиной правильной пирамиды, а многоугольник F — основанием этой пирамиды.
У правильной n-угольной пирамиды n плоскостей симметрии. Они проходят через вершину пирамиды и оси симметрии её основания (рис. 195). При отражении в такой плоскости вершина пирамиды остаётся на месте, а основание совмещается само с собой. Поэтому и пирамида совмещается сама с собой.
Рис. 195 Многие архитектурные сооружения представляют собой сочетания правильных призм и пирамид (рис. 196).
Рис. 196 Вопросы для самоконтроля
|
|
|