Геометрия
10-11 классы

       

Задачи к § 21

  • 21.1. Докажите, что около правильной призмы можно описать сферу.
  • 21.2. При каком условии в правильную призму можно вписать сферу?
  • 21.3. Докажите, что около прямоугольного параллелепипеда можно описать сферу. Когда в него можно вписать сферу?
  • 21.4. Пусть диагональ прямоугольного параллелепипеда составляет с его рёбрами углы φ1, φ2, φ3. Докажите, что cos2 φ1 + cos2 φ2 + cos2 φ3 = 1.

Задачи к п. 21.1

  • 21.5. Сколько вершин, рёбер и граней имеет n-угольная призма?
  • 21.6. Какую форму имеют боковые грани прямой призмы? Докажите, что плоскости этих граней перпендикулярны основанию призмы.
  • 21.7. Объясните, почему:
    • а) высота прямой призмы равна её боковому ребру;
    • б) перпендикулярное сечение прямой призмы равно её основанию.
  • 21.8. Нарисуйте прямую треугольную призму, у которой все рёбра равны. Нарисуйте её в трёх проекциях. Какой фигурой является её сечение:
    • а) параллельное боковой грани;
    • б) параллельное боковому ребру;
    • в) перпендикулярное ребру основания;
    • г) содержащее прямую, проходящую через центры её оснований?
    • д) Какого вида треугольник может быть сечением такой призмы? А четырёхугольник?
  • 21.9. В прямой треугольной призме, все рёбра которой равны, вычислите угол φ между:
    • а) ребром основания и боковыми гранями, в которых оно не лежит;
    • б) диагональю боковой грани и основания;
    • в) скрещивающимися рёбрами;
    • г) плоскостями боковых граней;
    • д) плоскостью основания и плоскостью, содержащей диагонали двух боковых граней.
  • 21.10. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 ребро основания равно 1, а боковое ребро равно 2. Вычислите:
    • а) расстояние между боковыми рёбрами;
    • б) расстояние между боковым ребром и плоскостью противоположной грани;
    • в) |В1(АС)|;
    • г) радиус описанной сферы;
    • д) площадь сечения А1В1С.
  • 21.11. Какой вид имеет треугольная призма, в которой есть:
    • а) боковое ребро, перпендикулярное основанию;
    • б) две боковые грани, перпендикулярные основанию;
    • в) две боковые грани, являющиеся прямоугольниками;
    • г) грань, перпендикулярная основанию;
    • д) грань, являющаяся прямоугольником?
  • 21.12. В треугольной призме АВСА1В1С1 вершина A1 проектируется в центр треугольника ABC и все её рёбра равны,
    • а) Какую форму имеют боковые грани этой призмы?
    • б) Нарисуйте высоты этой призмы из вершин С и C1.
    • в) Нарисуйте перпендикулярное сечение этой призмы, проходящее через вершину A1.
    • г) Нарисуйте проекцию вершины А1 на грань BCC1B1.
    • д) Нарисуйте проекции верхней грани и всей призмы на плоскость (ABC).
    • е) Нарисуйте проекцию грани A1B1C1 на плоскость (В1ВС).
  • 21.13. В треугольной призме АBСА1B1С1 все рёбра равны и ∠A1AC = ∠A1AB = 60°. Вычислите угол φ между:
    • а) боковым ребром и основанием;
    • б) (А1С1) и (В1ВС);
    • в) боковыми гранями и основанием;
    • г) боковыми гранями.

Задачи к п. 21.2

  • 21.14. Пусть рёбра прямоугольного параллелепипеда известны. Как вычислить:
    • а) его диагональ;
    • б) углы, которые составляет диагональ с рёбрами;
    • в) углы между диагональю и гранями;
    • г) радиус описанного шара?
  • 21.15. Диагональ прямоугольного параллелепипеда составляет с двумя его смежными рёбрами углы:
    • а) 60° и 60°;
    • б) 45° и 60°.

    Какой угол φ она составляет с третьим его ребром, смежным с данными?

  • 21.16. Какие по форме сечения могут быть у прямоугольного параллелепипеда с разными измерениями?
  • 21.17. Можете ли вы узнать длину диагонали спичечного коробка, ничего в нём не измеряя?
  • 21.18. Каким по виду является параллелепипед, в котором:
    • а) две грани перпендикулярны третьей грани;
    • б) две грани — прямоугольники;
    • в) четыре грани — прямоугольники?
  • 21.19.
    • а) Чем отличаются прямоугольный параллелепипед и прямой параллелепипед?
    • б) Если параллелепипед прямой, то обязательно ли он прямоугольный? А наоборот?
    • в) Докажите, что правильная четырёхугольная призма является прямоугольным параллелепипедом. Верно ли обратное утверждение?
  • 21.20. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 все грани — ромбы. Острые углы этих ромбов, равные 60°, сходятся в вершине A.
    • а) Нарисуйте высоты этого параллелепипеда из вершин А1 и С.
    • б) Нарисуйте перпендикулярные сечения, проходящие через точки D, С, C1.
    • в) Нарисуйте проекции грани A1B1С1D1 и всего параллелепипеда на плоскость ABC.
    • г) Какими по форме четырёхугольниками являются диагональные сечения плоскостями АА1С, и BB1D1?
  • 21.21. В прямом параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 основание — ромб с углом 60° при вершине А и |АВ| = |АА1| = 1.
    1. Вычислите расстояния:
      • а) от (A1D1) до (ABC);
      • б) от (А1D1) до (ВВ1С1);
      • в) от (АВ) до (CDD1);
      • г) между плоскостями параллельных граней;
      • д) между (АА1) и (CD).
    2. Найдите площади диагональных сечений.
  • 21.22. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 грани ABCD и АВВ1А1 — квадраты, ∠AA1D1 = 120°.
    1. Вычислите углы между:
      • а) (АВ) и (AA1D1);
      • б) (АА1) и (АВС);
      • в) (AD) и (CDD1);
      • г) соседними гранями.
    2. Какая из диагоналей составляет с основанием больший угол?

Рейтинг@Mail.ru