Геометрия
10-11 классы

§ 21. Призма

21.1 Призма — частный случай цилиндра

Построения, которые мы провели в п. 5.3 и в позволяют нам дать следующее определение. Призмой называется линдр, основание которого — многоугольник.

Если основание призмы — n-угольник, призма называется n-угольной (рис. 189, а).

Рис. 189

Введём ряд понятий, связанных с призмой. Так как основания любого цилиндра равны друг другу, то оба основания призмы являются равными друг другу многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях (свойство 2 п. 18.1). Соответственные стороны этих многоугольников параллельны.

Каждая пара соответственных сторон оснований призмы является противоположными сторонами параллелограмма, заполненного образующими призмы (рис. 189, б). Эти параллелограммы называются боковыми гранями призмы. Те стороны боковых граней, которые не лежат на основаниях, называются боковыми рёбрами призмы.

Объединение боковых граней призмы называется её боковой поверхностью. Поверхностью призмы является объединение оснований призмы и её боковой поверхности.

Тем самым n-угольная призма ограничена двумя равными n-угольниками — основаниями — и n боковыми гранями — параллелограммами. Любой из этих параллелограммов имеет с каждым основанием по одной общей стороне. Итак, мы пришли к определению n-угольной призмы, данному в п. 5.5. А из построения призмы, проведённого в п. 5.5, вытекает, что построенная там призма — это цилиндр, основание которого — многоугольник (см. п. 18.2).

Поскольку призма — цилиндр, то все понятия, относящиеся к цилиндрам, относятся к призмам. Например, высота призмы — это общий перпендикуляр к плоскостям, на которых лежат основания призмы (или его длина). Призма называется прямой, если её боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований (см. рис. 71, а). Непрямые призмы называют наклонными (см. рис. 189).

Перпендикулярным сечением призмы называется проекция её основания на любую плоскость, перпендикулярную боковым рёбрам призмы (рис. 190). Все перпендикулярные сечения одной призмы равны друг другу. Перпендикулярные сечения прямой призмы равны её основаниям.

Рис. 190

Напомним, что правильной призмой называется прямая призма, основание которой — правильный многоугольник (см. рис. 71, б).

21.2 Параллелепипед

Подобно тому как тетраэдр является пространственным аналогом треугольника, так параллелепипед является пространственным аналогом параллелограмма.

Параллелепипед можно определить как призму, в основании которой — параллелограмм (см. рис. 1, в). Таким образом, параллелепипед — это призма, у которой все грани — параллелограммы. Их всего шесть. Грани параллелепипеда составляют три пары равных и параллельно расположенных граней. Поэтому любую грань параллелепипеда можно принять за его основание.

Для каждой вершины параллелепипеда есть одна противоположная ей вершина, та, которая не лежит с данной вершиной ни в одной грани. Отрезок, соединяющий противоположные вершины параллелепипеда, называется диагональю параллелепипеда (рис. 191, а). У параллелепипеда четыре диагонали.

Рис. 191

Пространственным аналогом прямоугольника является прямоугольный параллелепипед. Параллелепипед называется прямоугольным, если все его грани — прямоугольники (рис. 192, а). Куб — это прямоугольный параллелепипед, все рёбра которого равны. Куб является пространственным аналогом квадрата. Все грани куба — квадраты.

Рис. 192

Прямоугольный параллелепипед, конечно, является прямой призмой. Но среди параллелепипедов есть и такие, которые будут прямыми призмами, но не прямоугольными параллелепипедами (рис. 192, б). У них есть одна пара непрямоугольных граней. Эту пару граней естественно считать основаниями прямого параллелепипеда.

Все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам (задача 3.3, г). Поэтому противоположные вершины параллелепипеда симметричны относительно этой точки. Следовательно, каждый параллелепипед имеет центр симметрии — точку пересечения его диагоналей (см. рис. 191, б).

Вопросы для самоконтроля

  1. Какие вы знаете определения призмы? виды призм?
  2. Перечислите, какие вы знаете свойства:
    • а) призмы;
    • б) правильной призмы;
    • в) параллелепипеда;
    • г) прямоугольного параллелепипеда.
  3. Расскажите, как построить перпендикулярное сечение призмы.


Рейтинг@Mail.ru