Учебник для 10-11 классов

ГЕОМЕТРИЯ

§ 1. Аксиомы стереометрии

1.1 Аксиома плоскости

Изучение стереометрии мы начинаем с формулировки её аксиом — тех её утверждений, которые принимаются без доказательства. Исходя из них, получим выводы стереометрии путём логических рассуждений.

Как уже было сказано в предисловии, геометрию на плоскости — планиметрию — мы считаем известной. Поэтому в стереометрии принимаем как определение: плоскостями называются фигуры, на которых выполняется планиметрия и для которых верны аксиомы стереометрии.

Можно представить себе плоскость (точнее, её часть) как поверхность стола, стены, ровной площадки на земле. Все фигуры, лежащие в плоскости, называются в стереометрии так же, как они назывались в планиметрии: прямые, отрезки, треугольники, окружности и т. д. Простейшими фигурами в пространстве (как и на плоскости) являются точки. Как и в планиметрии, в стереометрии точки обозначаются большими буквами латинского алфавита: А, В, С, .... Плоскости обычно обозначаются малыми буквами греческого алфавита: α, β, γ, .... Прямые обозначаются малыми латинскими буквами: а, b, с, ....

Рис. 6

Вторую часть аксиомы плоскости можно выразить ещё и так: через каждые три точки можно провести плоскость — или так: любые три точки лежат в одной плоскости.

Говоря «существуют плоскости», мы подчёркиваем, что пространство не исчерпывается только одной плоскостью.

Сделаем несколько выводов из аксиомы плоскости.

Следствие 1. Множество точек пространства бесконечно.

Доказательство. В пространстве есть плоскости, а на каждой плоскости, как известно из планиметрии, множество точек бесконечно. ¦

Следствие 2. Через каждую одну или две точки проходит плоскость (а не только через три).

Докажите его самостоятельно.

Следствие 3. В пространстве через каждые две точки проходит прямая.

Доказательство. В пространстве через каждые две точки проходит плоскость, а в плоскости через каждые две точки проходит прямая. ¦

1.2 Аксиома пересечения плоскостей

Взаимное расположение двух плоскостей. Напомним, что пересечение двух фигур — это их общая часть.

Сказанное в аксиоме означает, что пересечение двух плоскостей а и Р является прямой как на одной, так и на другой плоскости. Например, пересечение двух стен, стены и потолка.

Две плоскости, имеющие общую точку и тем самым (по аксиоме 2) общую прямую, называются пересекающимися. О них говорят: две плоскости пересекаются по прямой или, короче, плоскости пересекаются.

Из аксиомы 2 вытекает, что для взаимного расположения двух плоскостей могут представиться лишь две возможности:

1. Две плоскости имеют общую точку. Тогда они имеют общую прямую — пересекающиеся плоскости (см. рис. 7, а).
2. Две плоскости не имеют общих точек. Такие плоскости называются параллельными (рис. 7, б).

Рис. 7

В аксиоме 2 говорится о пересечении в пространстве двух плоскостей. Используя эту аксиому, находят пересечения плоскостей и с другими пространственными фигурами, например с многогранниками. Их называют сечениями многогранников.

Итак, сечением многогранника Р плоскостью а (в случае, когда Р и а имеют общую точку X) называется фигура, состоящая из общих точек многогранника Р и плоскости а (фигура Q на рисунке 8).

Рис. 8

Строить сечения многогранников мы начнём с первых уроков. Позднее будут рассмотрены сечения шаров, сфер, конусов, цилиндров плоскостями.

1.3 Аксиома о прямой и плоскости. Взаимное расположение прямой и плоскости

Другими словами: если две точки данной прямой принадлежат данной плоскости, то прямая содержится в плоскости (рис. 9).

Рис. 9

Из этой аксиомы следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она может иметь с нею не более одной общей точки, т. е. лишь одну, или вообще не иметь.

Итак, для взаимного расположения прямой и плоскости существуют только три возможности:

1. Прямая лежит в плоскости (рис. 9).
2. Прямая имеет с плоскостью только одну общую точку. В этом случае говорят, что прямая и плоскость пересекаются, или называют их пересекающимися (рис. 10, а).
3. Прямая не имеет с плоскостью общих точек (рис. 10, б). Такие прямая и плоскость называются параллельными.

Рис. 10

Замечание. Характерным свойством плоскости, выраженным в аксиоме 3, пользуются на практике. Например, когда проверяют, ровно ли оштукатурена плоская стена, натягивают шнур вдоль неё в различных направлениях (рис. 11). Шнур, прикасаясь к стене в двух точках, должен целиком лечь на неё и не изогнуться. На практике проверить, что поверхность какого-то предмета плоская, можно с помощью линейки. Если, прикладывая линейку к поверхности во всевозможных направлениях, мы нигде не получим зазора, значит, поверхность плоская.

Рис. 11

1.4 Аксиома расстояния. Равенство фигур

Через каждые две точки в пространстве проходят плоскости. На каждой плоскости выполняется планиметрия. Следовательно, на каждой плоскости между двумя выбранными точками есть определённое расстояние — длина соединяющего их отрезка. Хотя две точки принадлежат одновременно разным плоскостям, но расстояние между ними на каждой из этих плоскостей будет одно и то же. Выразим это как аксиому.

Расстояние между точками А и В будем обозначать так же, как отрезок, — АВ либо, когда важно подчеркнуть, что речь идёт не об отрезке, а о его длине, так: |АБ|.

После того как выбран единичный отрезок, длина каждого отрезка выражается положительным числом. К этому числу приписывают название единичного отрезка: 3 см, 2,5 км и т. д. Если единичный отрезок не имеет названия, а длина отрезка АВ равна, например, 7 единицам длины, то пишем АВ = 7, что является сокращением записи АВ = 7 ед. В дальнейшем мы считаем, что единичный отрезок фиксирован.

Аксиома расстояния позволяет сравнивать фигуры на разных плоскостях, в частности, применять теоремы о равенстве и подобии треугольников, расположенных в разных плоскостях.

Пользуясь понятием расстояния, можно определить равенство и подобие фигур в пространстве буквально так же, как это было сделано в планиметрии. Две фигуры называются равными, если существует соответствие между их точками, при котором расстояния между парами соответствующих точек равны.

1.5 Аксиома разбиения пространства плоскостью

Вспомним, что каждая прямая в плоскости делит её на две полуплоскости, для которых она служит общей границей. Полуплоскость, ограниченная прямой а, характеризуется следующими свойствами:

1. она содержит прямую а, но не совпадает с ней;
2. если обе точки А и В принадлежат полуплоскости, но не прямой а, то отрезок АВ не имеет с а общих точек (рис. 12, а);
3. если же точка А принадлежит полуплоскости, а В ей не принадлежит, то отрезок АВ имеет с прямой а общую точку (рис. 12, б).

Рис. 12

Аналогично полупространством, ограниченным плоскостью а, называется фигура (обозначим её F) со следующими свойствами:

1. она содержит плоскость а, но не совпадает с ней;
2. если обе точки А и В принадлежат фигуре F, но не плоскости а, то отрезок АВ не имеет с а общих точек (рис. 13, а);
3. если же точка А принадлежит фигуре F, а точка В нет, то отрезок АВ имеет с плоскостью а общую точку (рис. 13, б).

Рис. 12

Плоскость, ограничивающую полупространство, называют его границей.

1.6 Основные теоремы о треугольниках

Мы определили плоскости как фигуры, на которых выполняется планиметрия, а потому для них имеют место все выводы планиметрии. Напомним важнейшие теоремы о треугольниках и решим, применяя их, несколько интересных задач. Одной из важных задач планиметрии является задача о решении треугольников, т. е. о выражении одних элементов треугольника через другие его элементы. Решая треугольники, опираются на четыре основные теоремы о треугольниках. Напомним их. Во-первых, это теорема о сумме углов треугольника: сумма углов треугольника равна 180° (рис. 14).

Рис. 14

Во-вторых, это теорема Пифагора: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов (рис. 15).

Рис. 15

В-третьих, это обобщение теоремы Пифагора (ОТП), которое называют теоремой косинусов: в каждом треугольнике квадрат любой его стороны равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон и косинуса угла между ними (рис. 16).

Рис. 16

Наконец, в-четвёртых, это теорема синусов: в каждом треугольнике его стороны пропорциональны синусам противолежащих им углов (рис. 17).

Рис. 17

Напомним также, что площадь треугольника равна половине произведения стороны треугольника и его высоты, проведённой к этой стороне (рис. 18, а), и площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон и синуса угла между ними (рис. 18, б), а также по формуле Герона

где а, Ь, с — стороны треугольника, р = 0,5 (а + b + с) — его полу периметр.

Рис. 18

Решим теперь три задачи о треугольниках: зная три стороны треугольника, найдём его высоты, медианы и биссектрисы.

Задача 1: вычисление высоты треугольника. Решить эту задачу можно, опираясь на теорему Пифагора. Пусть заданы стороны а, Ь, с треугольника ABC и требуется найти его высоты h_a, h_b, h_c. Например, пусть а = 8, Ь = 7, с — 9. Как здесь быть? Теорема Пифагора позволяет решить такую задачу на вычисление. Пусть AD — искомая высота (рис. 19, а).

Рис. 19

Обозначим через х отрезок BD. Тогда

CD = 8 - х.

Так как AD² = АВ² - BD² и AD² = АС² - CD², то АВ² - BD² = АС² - CD², т. е.

81 — x² = 49 - (8 — х)². (2)

Из уравнения (2) получаем, что х = 6. Так как BD = 6, то AD² = 81 - 36 = 45, т. е. AD = З√б.

Две другие высоты этого треугольника найдите самостоятельно.

Если повторить проведённое нами решение в общем виде (т. е. в буквенных обозначениях) с тем же чертежом, то для отрезка х получим такое выражение:

Если а² + с² < b², то по этой формуле x < 0. Что же это значит? Вспомним, что CD = а - х, и если x < 0, то CD > a! Это неравенство подсказывает нам, что точка В лежит внутри отрезка CD и угол В тупой (рис. 19, б). Объединить в решении все случаи расположения точки D на прямой ВС можно так. Эту прямую считать числовой осью с началом в точке В, идущей от Б к С. Точка С будет иметь координату а, точка D — координату х. Тогда

BD = |x|, CD = |а - х|

и уравнение относительно х будет иметь вид

с² — х² = b² - (а — х)².

Решая его, получаем выражение (3) для х. А для высоты h_a получаем такую формулу:

Проверьте!

Задача 2: вычисление медианы треугольника. Пусть заданы стороны а, Ь, с треугольника ABC и требуется найти его медианы m_а, m_b, m_с.

Решая задачи о медиане треугольника, часто бывает полезно продлить её на равный ей отрезок и построить параллелограмм, в котором удвоенная медиана является диагональю. Например, продлим медиану тс = СМ треугольника АБС на отрезок МК = СМ и рассмотрим параллелограмм АКВС (рис. 20).

Рис. 20

В этом параллелограмме стороны равны а и Ь, диагональ АВ — с и диагональ С К — 2m_с. А для сторон и диагоналей параллелограмма имеет место следующая теорема: сумма квадратов сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей. Эта теорема — простое следствие ОТП. Докажем её для параллелограмма АКВС.

Согласно ОТП

АВ² = а² + Ъ² - 2аb cos С и СК² = а² + Ь² - 2ab cos А.

Так как ∠A — 180° -∠C, то cos А = - cos С. Поэтому

АВ² + СК² — 2 (а² + b²). (5)

Если теперь в (5) подставить АВ = с и СК = 2m_с а затем выразить тс> то для вычисления медианы тс получим такую формулу:

Задача 3: вычисление биссектрисы треугольника. Чтобы решить задачу о вычислении биссектрисы треугольника, сначала докажем такое свойство биссектрисы треугольника: биссектриса угла треугольника разбивает его противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Рассмотрим треугольник ABC. Проведём его биссектрису AM (рис. 21). Из точки М проведём высоты МН и МК треугольников АВМ и ACM. Так как точка М равноудалена от лучей АВ и АС, то МН = МК. Поэтому отношение площадей S¹ и S² треугольников АВМ и ACM равно отношению их сторон АВ и АС, т. е. S¹ : S² = АВ : АС. С другой стороны, треугольники АВМ и ACM имеют одну и ту же высоту — высоту треугольника АБС, опущенную из вершины А. Поэтому S¹ : S² = BM : CM. Из этих двух равенств и следует, что АВ : АС = БМ : СМ.

Рис. 21

Переходим к вычислению биссектрисы СК треугольника АБС, стороны а, Ь, с которого известны (рис.22). Пусть СК = х.

Рис. 22

Используя свойство биссектрисы, получаем, что

Выражаем по ОТП равные друг другу косинусы углов АС К и ВСК и приравниваем эти выражения. Получим

Выражая х2 из равенства (7), получаем

Выражая х² из равенства (7), получаем

Решая задачи о вычислении высот, медиан и биссектрис треугольника, мы пока не использовали теорему синусов. Применим её (многократно!) для доказательства красивой теоремы, которую доказал в 1678 году итальянский математик Джованни Чева (1648—1734). Она формулируется так:

Доказательство. Пусть три отрезка АА₁, ВВ₁, СС₁ пересекаются в точке О (рис. 23).

Рис. 23

Докажем, что выполняется равенство (9). Введём такие обозначения: ∠AOB₁ = ∠A₁OB = α, ∠BOC₁ = ∠B₁OC = β, ∠COA₁ = ∠C₁OA = γ. Обозначим значение синусов смежных углов ОВ₁А и ОВ₁С через k. Тогда, применяя теорему синусов к треугольникам ОАВ₁ и СОВ₁, получим

Из равенств (10) следует, что

Рассуждая аналогично, получаем, что

Из равенств (11) и (12) вытекает равенство (9).

Справедлива и теорема, обратная теореме Чевы:

Докажем это утверждение. Пусть выполнено равенство (9). Покажем, что отрезки АА₁, BB₁, CC₁ проходят через одну точку. Пусть точка О — точка пересечения отрезков АА₁ и ВВ₁. Проведём из точки С через точку О луч р. Пусть он пересекает сторону АВ в точке С₂ (рис. 24). Тогда, как доказано,

Рис. 24

Из равенств (9) и (13) получаем, что

Следовательно, точки С₂ и С₁ делят отрезок ВА в одном и том же отношении. Поэтому точки С₂ и С₁ совпадают. Итак, все три отрезка АА₁, BB₁, СС₁ проходят через точку О.

Получите как следствия обратной теоремы Чевы теоремы о точках пересечения медиан и биссектрис треугольника. А вот новая теорема: прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанного круга, пересекаются в одной точке (она называется точкой Жергона). Действительно, в этом случае АВ₁ = АС₁, ВА₁ = ВС₁ и СА₁=СВ₁ (рис. 25), откуда и следует равенство (9).

Рис. 25

Теорема Чевы допускает обобщение, в котором речь пойдёт о прямых, проходящих через вершины треугольника. Точка пересечения этих прямых может лежать вне треугольника. Чтобы получить такое обобщение, надо ввести отношение направленных отрезков, лежащих на одной прямой.

Итак, будем понимать отношение отрезков АС и СВ, лежащих на одной прямой (точка С отлична от В), как отношение их длин, если направленные отрезки АС и СВ сонаправлены, и как такое же отношение, но со знаком «минус», если они направлены противоположно (рис. 26).

Рис. 26

Теперь, если в равенстве (9) отношения отрезков понимать именно в таком смысле (со знаком), по теореме Чевы и обратной ей теореме можно дать обобщение.

Обобщённая теорема Чевы. Пусть прямые а, Ь, с проходят через вершины А, В, С треугольника ABC и пересекают прямые ВС, СА, АВ в точках А₁, В₁, С₁ соответственно (рис. 27). Тогда прямые а, Ь, с пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда имеет место равенство (9).

Рис. 27

Докажите её самостоятельно. Получите как следствие этой теоремы теорему об ортоцентре треугольника — точке пересечения прямых, содержащих высоты треугольника.

Этот пункт мы завершим ещё одной интересной теоремой геометрии треугольника — теоремой Менелая. Менелай Александрийский (I—II вв. н. э.) — греческий математик и астроном, один из создателей сферической тригонометрии. В этой теореме отношения отрезков тоже понимаются со знаком.

Доказательство. В этой теореме тоже два взаимно обратных утверждения. Докажем сначала, что если прямая I пересекает прямые ВС, АС, АВ соответственно в точках А₁, В₁, С₁ (рис. 28), то выполняется равенство (15).

Рис. 28

Проведём любую прямую р, пересекающую прямую I, и через точки А, В, С проведём соответственно прямые а||l, b||l, с||l. Прямые а, Ь, с, l пересекут прямую р в точках К, L, М, N. По известной теореме планиметрии параллельные прямые отсекают на двух прямых пропорциональные отрезки. Поэтому

Перемножая равенства (16) и учитывая, что

получаем равенство (15). Первое утверждение доказано. Обратное ему утверждение докажите самостоятельно тем же методом, что и при доказательстве теоремы Чевы.

Вопросы для самоконтроля

1. Перечислите аксиомы, которые лежат в основе стереометрии.
2. Как могут быть расположены две плоскости в пространстве?
3. Какие могут быть случаи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве?
4. Как определяется равенство фигур в пространстве?
5. Что такое плоскость?
6. Две плоскости имеют общую точку А и общую прямую а. Объясните, почему точка А принадлежит прямой а.