Геометрия
10-11 классы

Задачи к главе III

III. 1.

  • а) Проведены два параллельных сечения шара. Докажите, что центр шара лежит на прямой, проходящей через центры этих сечений.
  • б) В шаре радиуса R проведено сечение радиуса r. Чему равно расстояние между ним и параллельным ему большим кругом?
  • в) В шаре радиуса 3 проведены два сечения радиусами 1 и 2, плоскости которых параллельны. Вычислите расстояние между ними,
  • г) Составьте задачи, обратные задачам б) и в).

III. 2.

  • а) Даны два круга в одном шаре, окружности которых лежат на сфере и имеют единственную общую точку. Докажите, что прямая пересечения плоскостей, в которых лежат эти круги, имеет с шаром единственную общую точку,
  • б) На сфере проведены две окружности, имеющие единственную общую точку. Докажите, что центр сферы, центры обеих окружностей и их общая точка лежат в одной плоскости,
  • в) На сфере радиуса R провели два сечения одного радиуса r, имеющие одну общую точку. Их плоскости образуют угол ср. Установите связь между R, r, φ.

III. 3. В шаре радиуса R два сечения радиуса r пересекаются под углом φ. Их пересечением является хорда длиной d. Установите связь между R, r, d, φ.

III. 4. В данную сферу вписаны:

  • а) цилиндр;
  • б) конус;
  • в) усечённый конус.

Их размеры известны. Как найти расстояния от центра сферы до оснований и боковых поверхностей цилиндра, конуса и усечённого конуса?

III. 5. Четыре равных шара радиуса R расположены так, что каждый касается трёх остальных. Три из этих шаров лежат на горизонтальной плоскости, а четвёртый шар лежит над ними. Какова высота этого сооружения? Как найти радиус шара, описанного около этого сооружения.

III. 6. Три цилиндра расположены так, что каждые два имеют единственную общую точку. Эта общая точка находится внутри образующей каждого из цилиндров. Оси цилиндров взаимно перпендикулярны, и одна из них вертикальна. Радиус каждого цилиндра равен R. Найдите радиус шара, который, падая вертикально, пройдёт через зазор, образованный цилиндрами.

III. 7. В шаре радиуса R находится цилиндр с наибольшим по площади осевым сечением. Каковы размеры этого цилиндра?

III. 8. Рассмотрите всевозможные цилиндры с диагональю осевого сечения, равной d. Вычислите радиус наибольшего шара, содержащегося в таком цилиндре, и радиус наименьшего шара, содержащего такой цилиндр.

III. 9. В цилиндре, у которого высота равна диаметру основания и равна d, надо разместить два одинаковых шара. Каков их наибольший радиус?

III. 10. Два равных конуса имеют общую вершину. Их боковые поверхности пересекаются по двум образующим. Докажите, что плоскость, проходящая через эти образующие, перпендикулярна плоскости, содержащей оси конусов.

III.11. Два равных конуса имеют параллельные оси. Имеют ли они общую опорную плоскость, проходящую через образующие их поверхностей?

III.12. Докажите, что окружность является линией пересечения (если такая существует):

  • а) боковых поверхностей конуса и цилиндра, оси которых лежат на одной прямой);
  • б) боковых поверхностей двух конусов, оси которых лежат на одной прямой.

III.13. Центр сферы лежит в вершине конуса. Радиус сферы меньше образующей боковой поверхности конуса. Докажите, что сфера пересекает боковую поверхность конуса по окружности.

III.14.

  • а) На реальной сфере нарисована окружность. Как вычислить её радиус?
  • б) Как вычислить радиус реальной сферы (шара)?

Применяем компьютер

III.15. Дана прямая р и отрезок АВ на прямой, параллельной прямой р. Найдите на прямой р такую точку X, чтобы угол АХВ был наибольшим.

III.16. Среди всех равнобедренных треугольников ABC, описанных около данной окружности, касающейся основания АС, найдите треугольник наименьшей площади.

III.17. Найдётся ли на заданной прямой точка, из которой два равных круга видны под равными углами?

III.18. Впишите в данную окружность прямоугольник наибольшей площади.

III.19. Дана окружность с центром О. В ней проведена хорда АВ, отличная от диаметра, и радиус ОС, перпендикулярный этой хорде. Пусть D — точка пересечения этого радиуса и этой хорды. Точка X движется по большей дуге окружности. Из неё проводятся две хорды: ХК, проходящая через точку D, и ХС. Пусть L — точка пересечения хорд ХС и АВ. Какой из отрезков длиннее: KD или LC?

Итоги главы III

В § 16—19 доказаны всего три теоремы:

  1. теорема 17 о пересечении шара с плоскостью (п. 16.2),
  2. теорема 18 о касании сферы и плоскости (п. 16.3) и
  3. теорема 19 о сечении конуса (п. 19.1).

В главе III начато обсуждение важного вопроса о симметрии пространственных фигур.

В § 20 изучены более сложные, чем в курсе основной школы, вопросы геометрии окружности.


Рейтинг@Mail.ru