Геометрия
10-11 классы

Задачи к § 20

Задачи к п. 20.1

  • 20.1. Точки А, В, С и D лежат на окружности и разбивают её на дуги АВ, ВС, CD и DA, градусные меры которых относятся как 4 : 1 : 2 : 5. Хорды АС и BD пересекаются в точке К. Найдите:
    • а) углы четырёхугольника ABCD;
    • б) углы АКВ и ВКС;
    • в) угол между прямыми АВ и CD;
    • г) угол между прямыми ВС и AD.
  • 20.2. Хорда АВ некоторой окружности пересекает её диаметр CD в точке К. Градусная мера дуги АС равна φ, a ∠AKC = α. Найдите градусные меры дуг DA, BD и СВ этой окружности.
  • 20.3. Через концы дуги окружности, градусная мера которой φ (φ < 180°), проведены касательные прямые к этой окружности. Найдите угол между этими прямыми.
  • 20.4. Угол между двумя касательными лучами, проведёнными из некоторой точки к одной окружности, равен α. Найдите градусные меры дуг, на которые разобьют эту окружность их точки касания.
  • 20.5. Точка В лежит на дуге АС некоторой окружности (дуга АС меньше полуокружности). Градусные меры её дуг АВ и ВС равны соответственно α и β. Через точку В проводится касательная прямая к окружности. Найдите угол между этой касательной и прямой АС. Сформулируйте теорему об измерении угла между касательной и секущей, проведёнными из одной точки.
  • 20.6. В окружности проведена хорда АВ. Через точку С этой окружности к ней проведена касательная. Пусть расстояния от точек А и В до этой касательной равны а и b. Найдите расстояние от точки С до хорды АВ.
  • 20.7. На сторонах четырёхугольника как на диаметрах построены четыре круга. Докажите, что они накрывают четырёхугольник полностью.
  • 20.8. Около треугольника описана окружность. Проводится биссектриса угла этого треугольника. Докажите, что она пересекает описанную окружность в точке, лежащей на серединном перпендикуляре стороны данного треугольника.
  • 20.9. Две окружности внутренне касаются в точке Р. Хорда АВ большей окружности касается меньшей окружности в точке О. Докажите, что луч PQ делит угол АРВ пополам.

Задачи к п. 20.2

  • 20.10. В угол вписаны две окружности. Одна из них касается сторон угла в точках К и L, а другая — в точках М и N. Докажите, что на прямой KN эти окружности высекают равные хорды.
  • 20.11. Докажите, что касательные к двум пересекающимся окружностям из всякой точки продолжения их общей хорды равны между собой.
  • 20.12. Постройте окружность, проходящую через две заданные точки одной стороны угла и касающуюся другой его стороны.
  • 20.13. Около треугольника ABC со сторонами а, Ь, с (Ь < с) описана окружность,
    • а) Через точку А проведена касательная, которая пересекает луч ВС в точке D. Вычислите AD и CD.
    • б) Пусть К и L — точки на луче ВС, в которых биссектрисы угла А и внешнего к нему угла пересекают луч ВС. Докажите, что точка D — середина отрезка KL.
  • 20.14. В окружности известны диаметр и длины двух хорд. Достаточно ли этого, чтобы выяснить, пересекаются эти хорды или нет? А если, кроме этого, известно, что хорды взаимно перпендикулярны?
  • 20.15. Космический корабль находится над Землёй на высоте 300 км. Каков радиус окружности горизонта, наблюдаемой с этого корабля? Радиус Земли приблизительно 6370 км.
  • 20.16. Из середины С полуокружности радиуса R проведены хорды СА и СВ в концы диаметра АВ этой полуокружности. Проведена хорда KL, параллельная диаметру АВ.
    • а) Докажите, что хорда KL может разделиться хордами СА и СВ на равные части,
    • б) Найдите зависимость между длинами частей хорды KL, когда К и L — середины дуг СА и СВ.
  • 20.17. Нарисуйте окружность и её диаметр АВ. Через точку В проведите касательную к этой окружности. Через точку А и точку X этой окружности проведите луч, который пересекает эту касательную в точке Р. Зависит ли величина АХ • АР от положения точки X на окружности?
  • 20.18. Две прямые взаимно перпендикулярны. Выбраны два вертикальных угла, образованные ими, и в каждый из них вписана окружность. К ним проведена общая внешняя касательная. Радиусы окружностей известны. Как найти длину отрезка этой касательной, ограниченного двумя данными прямыми?
  • 20.19. Три круга имеют общую точку. Докажите, что три общие хорды каждой пары этих кругов имеют общую точку.
  • 20.20. В окружность вписан шестиугольник. При этом каждая пара противоположных сторон лежит на пересекающихся прямых. Докажите, что три полученные точки пересечения лежат на одной прямой (теорема Паскаля).

Задачи к п. 20.3

  • 20.21. Как найти неизвестную сторону треугольника, если известны две его стороны и радиус описанной окружности?
  • 20.22. Известны две стороны треугольника и высота к третьей его стороне. Как вычислить радиус его описанной окружности?
  • 20.23. В треугольнике ABC АВ = 4 и ДС = 5, а радиус описанной окружности равен √7.
    • а) Чему равна его площадь?
    • б) Найдите ВС.
  • 20.24.
    • а) Пусть стороны данного треугольника ABC равны соответственно а, b, с. Чему равно расстояние между центром описанной окружности и вершиной А?
    • б) Пусть в треугольнике ABC ∠A > ∠B. Сравните между собой расстояния от центра вписанной в этот треугольник окружности до этих вершин.
  • 20.25. S — площадь треугольника ABC, R — радиус его описанной окружности, r — радиус его вписанной окружности. Докажите, что выполняются такие соотношения:

  • 20.26. Пусть точка О — центр окружности, описанной около треугольника, точка — центр окружности, вписанной в него, R — радиус его описанной окружности, r — радиус его вписанной окружности. Докажите, что O2 = R2 - 2Rг (формула Эйлера). Как изменится эта формула, если точка Ол будет центром вневписанной окружности? Какие следствия можно получить из этой формулы?
  • 20.27. Исследуем Можно ли найти площадь равнобедренного треугольника, зная его основание и радиус описанной окружности? Если можно, то попытайтесь получить соответствующую формулу.

Задачи к п. 20.4

  • 20.28. В треугольник с известными сторонами вписана окружность, и в нём проведена хорда, касательная к ней и параллельная стороне. Как найти её длину?
  • 20.29. Докажите, что площадь четырёхугольника, вписанного в окружность, стороны которого равны а, Ь, с, d, вычисляется по формуле

    где S — площадь, р — полупериметр.

  • 20.30. В окружность вписан четырёхугольник. Докажите, что хорды этой окружности, соединяющие середины противоположных дуг, взаимно перпендикулярны.
  • 20.31. Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А проведена прямая, пересекающая эти окружности в точках К и через точку В проведена прямая, пересекающая эти окружности в точках М и N (точки К и М принадлежат одной окружности, а точки L и N — другой). Докажите, что прямые КМ и LN параллельны.
  • 20.32. Докажите, что в описанном четырёхугольнике равны суммы углов, под которыми видны из центра вписанной окружности противоположные стороны.
  • 20.33. В треугольнике ABC проведены высоты АК и ВМ. Докажите, что:
    • а) вокруг четырёхугольника АВКМ можно описать окружность;
    • б) треугольники ABC и КМС подобны.
  • 20.34.
    • а) Треугольник вписан в окружность. Произвольная точка окружности проектируется на все стороны треугольника. Докажите, что все проекции лежат на одной прямой (прямая Симеона),
    • б) Проверьте обратное утверждение.
  • 20.35. Две окружности имеют общую хорду АВ. Через точку А проведена прямая, которая пересекает первую и вторую окружности в точках С и D соответственно. В этих точках проводятся касательные к первой и второй окружностям соответственно. Эти касательные пересекаются в точке К. Докажите, что точки В, С, К, D лежат на одной окружности.
  • 20.36. Пусть стороны четырёхугольника равны а, Ь, с, d. Известно также, что в него можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Докажите, что его площадь S можно вычислить по формуле
  • 20.37. В окружность вписан четырёхугольник ABCD. Прямые АВ и CD пересекаются в точке Р, прямые ВС и AD пересекаются в точке О.
    • а) Докажите, что биссектрисы углов Р и О взаимно перпендикулярны,
    • б) Проверьте обратное утверждение.
  • 20.38. В угол вписаны две окружности, которые касаются между собой. Четыре полученные точки касания являются вершинами четырёхугольника,
    • а) Докажите, что в него можно вписать окружность,
    • б) Пусть радиусы данных окружностей известны. Чему равен радиус окружности, вписанной в полученный четырёхугольник?
  • 20.39. Рассматриваются всевозможные четырёхугольники с фиксированными сторонами. Докажите, что среди них существует четырёхугольник, который можно вписать в круг.
  • 20.40. Диаметр окружности является основанием трапеции, вписанной в неё. Какая из таких трапеций имеет наибольший периметр?
  • 20.41. В данную окружность вписаны четырёхугольники. Какой из них имеет:
    • а) наибольшую площадь;
    • б) наибольший периметр?
  • 20.42. Вокруг окружности радиуса R описаны трапеции. В каких границах изменяются их:
    • а) периметры;
    • б) площади?


Рейтинг@Mail.ru