Геометрия
10-11 классы

       

§ 20. Геометрия окружности

Фигуры вращения состоят из семейств окружностей. Поэтому для решения более сложных задач о фигурах вращения полезно продолжить знакомство со свойствами окружностей. Этому и посвящён настоящий параграф.

20.1 Окружности и углы

Напомним, что центральный угол окружности измеряется соответствующей ему дугой окружности (рис. 169, а), а вписанный угол окружности измеряется половиной дуги, на которую он опирается (рис. 169, б).

Рис. 169

Следующая теорема содержит эти два результата как свои частные случаи.

Теорема 20. Угол, вершина которого лежит внутри круга, измеряется полусуммой двух его дуг, из которых одна заключена между сторонами угла, а другая — между продолжениями сторон угла.

Доказательство. Пусть вершина В угла ABC лежит внутри круга F, а точки А и С лежат на его окружности (рис. 170, а). Продолжив стороны угла В за его вершину до пересечения с окружностью круга F, получим его хорды АК и СМ (рис. 170, б). Проведём хорду AM и рассмотрим вписанные в F углы СМА и КАМ. Они измеряются соответственно половинами дуг АС и КМ у на которые они опираются. Угол ABC — внешний угол треугольника АВМ. Он равен сумме углов А и М этого треугольника. Поэтому он измеряется полусуммой дуг АС и КМ.

Рис. 170

Теорема 21. Угол, вершина которого лежит вне круга и стороны которого пересекают его окружность, измеряется полуразностью двух дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство. Пусть вершина В угла ABC лежит вне круга F, точки А и С лежат на окружности круга F и отрезки ВА и ВС пересекают её соответственно в точках К и М (рис. 171, а). Проведём хорду AM (рис. 171, б). Внешний угол AMС треугольника АВМ равен сумме углов А и В этого треугольника. Поэтому угол В равен разности углов АМС и МАК. А эти углы — вписанные в окружность круга F и измеряются соответственно половинами дуг АС и КМ, на которые они опираются. Следовательно, угол В измеряется полуразностью этих дуг.

Рис. 171

Теорема 22. Угол между касательной к окружности и её хордой, проведённой из точки касания, измеряется половиной дуги окружности, заключённой внутри угла.

Доказательство. Пусть из точки А окружности F проведены хорда АС и касательная АВ.

Рассмотрим случай, когда угол ВАС острый (рис. 172, а). Проведём из точки А диаметр АК и проведём хорду С К (рис. 172, б). Треугольник АС К — прямоугольный. Сумма его острых углов А к К равна 90°. Так как диаметр АК перпендикулярен касательной АВ, то сумма углов ВАС и САК тоже равна 90°. Поэтому угол ВАС равен углу АКС. Угол АКС — вписанный и измеряется половиной дуги АС, на которую он опирается.

Рис. 172

Следовательно, и угол ВАС измеряется половиной дуги АС. Но эта дуга и является дугой, заключённой внутри угла ВАС. Для острого угла ВАС теорема доказана. Случаи прямого и тупого угла ВАС (рис. 173, а, б) разберите самостоятельно.

Рис. 173

20.2 Пропорциональность отрезков хорд и секущих

Теорема 23. Если две хорды АВ и CD одной окружности пересекаются в точке М (рис. 174, а), то AM • MB = CM • MD.

Рис. 174

Доказательство. Проведём хорды АС и BD (рис. 174, б). Получим два треугольника САМ и BDM. Они подобны, так как в них соответственно равны углы: ∠A = ∠D (как опирающиеся на одну и ту же дугу ВС) и ∠C = ∠B (как опирающиеся на одну и ту же дугу AD). Поэтому AM : MD = CM : MB. Из этой пропорции и следует, что AM • MB = CM • MD.

Интересно, что равенство, доказанное в теореме 23, будет верным и для двух секущих одной окружности. А секущей для окружности называется луч с началом в некоторой точке М, взятой вне окружности, который пересекает данную окружность.

Теорема 24. Если из точки М вне окружности проведены две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках А и В, а другая — в точках С и D, то AM • MB = CM • MP.

Доказательство. Можно считать, что точка А лежит на отрезке MB, а точка С лежит на отрезке MD (рис. 175, а). Проведём хорды ВС и AD (рис. 175, б). Треугольники МВС и MDA подобны: у них угол М общий, а вписанные углы ABC и ADC равны как опирающиеся на одну и ту же дугу АС. Записав пропорциональность их сторон, как и при доказательстве предыдущей теоремы, приходим к равенству AM • MB = CM • MD.

Рис. 175

Если представить себе, что секущий луч МС, вращаясь вокруг точки М, займёт положение луча, касающегося окружности в точке К (рис. 176), тогда окажется, что точки С и D совпадут, и получим, что СМ = MD = МК.

Рис. 176

И из равенства AM • MB = CM • MD получим равенство AM • MB = МК2. Формулировать словами это равенство можно так:

Теорема 25. Квадрат отрезка касательной, проведённой из некоторой точки вне окружности до точки касания, равен произведению отрезка секущей окружности на внешнюю часть этой секущей.

Доказать эту теорему можно и рассмотрев два подобных треугольника МВК и МКА (рис. 177). Сделайте это самостоятельно.

Рис. 177

20.3 Вычисление радиусов окружностей, описанной вокруг треугольника и вписанной в него

Выведем формулы, выражающие радиусы R и r окружностей, описанной вокруг треугольника и вписанной в него. Оказывается, что диаметр 2R окружности, описанной вокруг треугольника, — это отношения, стоящие в теореме синусов, т. е.

Докажем равенство (1). Проведём через центр О окружности, описанной вокруг треугольника ABC, диаметр ВМ (рис. 178).

Рис. 178

Получим прямоугольный треугольник ВМС с гипотенузой ВМ. Тогда

Но вписанные углы А и М опираются на одну и ту же дугу ВС. Поэтому ∠A = ∠M. Так как BM = 2R и ВС = а, то из равенства (2) следует равенство (1).

Согласно равенству (1)

Если подставить это выражение для sin А в формулу для площади S = 1/2 bc sin А, то получим, что

Из формулы (3) можно найти R через стороны треугольника ABC (выразив S по формуле Герона).

Рассмотрим теперь окружность, вписанную в треугольник ABC. Пусть точка О — её центр, а г — её радиус (рис. 179).

Рис. 179

Площадь S треугольника ABC, его периметр Р = а + b + с и радиус г вписанной в него окружности связаны равенством

Рис. 180

Действительно, высоты треугольников ОВС, ОАВ и О АС, проведённые из вершины О, равны г. А сумма площадей этих треугольников равна S, Поэтому

т. е. имеет место равенство (4).

Из равенства (4) и находят радиус вписанной окружности (зная стороны треугольника).

Равенство (4) справедливо и для любого многоугольника, в который можно вписать окружность. Докажите его самостоятельно, разбив многоугольник на треугольники с общей вершиной в центре вписанной окружности и основаниями на сторонах многоугольника (рис. 180).

Рис. 180

20.4 Вписанные и описанные четырёхугольники

Вокруг многоугольника, число сторон которого больше трёх, не всегда можно описать окружность. Например, вокруг параллелограмма можно описать окружность лишь в том случае, когда параллелограмм — прямоугольник (рис. 181).

Рис. 181

И вписать окружность в многоугольник, число сторон которого больше трёх, возможно не всегда. Например, в параллелограмм можно вписать окружность лишь тогда, когда этот параллелограмм — ромб (рис. 182).

Рис. 182

Если четырёхугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна 180° (iсвойство вписанных четырёхугольников).

Действительно, пусть четырёхугольник ABCD вписан в окружность (рис. 183). Тогда сумма его углов А и С измеряется полусуммой дуг BCD и BAD, составляющих полную окружность, а потому равна 180°.

Рис. 183

Свойство это является характерным, т. е. справедливо и обратное ему утверждение: если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°, то вокруг четырёхугольника можно описать окружность (признак вписанного четырёхугольника).

Пусть сумма углов А и С четырёхугольника ABCD равна 180°. Заметим, что и сумма двух других противоположных углов этого четырехугольника равна 180°, а также что четырёхугольник ABCD выпуклый (у невыпуклого четырёхугольника один из углов больше 180°). Проведём через три его вершины В, С и D окружность F и покажем, что четвёртая его вершина А также лежит на F. Допустим противное. Тогда возможны два случая:

  1. А лежит внутри круга, ограниченного F (рис. 184, а);
  2. А лежит вне этого круга (рис. 184, б).

Рис. 184

Рассмотрим первый случай. Продолжим тогда сторону ВА за точку А до пересечения с окружностью F в точке М и проведём хорду MD (рис. 185, а). Четырёхугольник BCDM вписан в окружность F. Как доказано, ∠C + ∠M = 180°. Но ∠A > ∠M (как внешний угол треугольника DMA), а значит, ∠A + ∠C > 180°. Получили противоречие. Следовательно, точка А не может лежать внутри круга, ограниченного окружностью F.

Рис. 185

К противоречию во втором случае придите самостоятельно (рис. 185, б). Следовательно, четырёхугольник ABCD вписан в окружность F.

Итак, для того чтобы четырёхугольник можно было вписать в окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма его противоположных углов была равна 180°.

Выясним теперь, в какие четырёхугольники можно вписать окружность.

Пусть в четырёхугольник ABCD вписана окружность F и К, L, М, N — точки касания F со сторонами АВ, ВС, CD, DA соответственно (рис. 186). Так как АК = AN, BK = BL, CL = CM, DM = DN, то AB + CD = BC + AD.

Рис. 186

Тем самым мы доказали, что если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны (свойство описанного четырёхугольника).

Для выпуклых четырёхугольников свойство это является характерным, т. е. справедливо и обратное ему утверждение: если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность (признак описанного четырёхугольника). Докажем это утверждение.

Пусть для выпуклого четырёхугольника ABCD выполняется равенство

AB + CD = BC + AD. (5)

Среди окружностей, касающихся сторон АВ и AD, найдётся окружность F, касающаяся ещё одной из сторон четырёхугольника ABCD и лежащая в нём. Будем считать, что F касается сторон АВ, ВС и AD (рис. 187).

Рис. 187

Покажем, что F касается и стороны CD. Допустим противное. Проведём из точки С луч р, который касается окружности F и пересекает сторону AD в точке К (рис. 188). Получим треугольник CDK. Окружность F вписана в четырёхугольник АВСК. Поэтому

АВ + СК = ВС + АК. (6)

Рис. 188

Вычитая равенство (6) из равенства (5), получаем, что CD - СК = AD - АК.

Так как AD - АК = KD, то предыдущее равенство приводит к соотношению CD = СК + KD, которое противоречит неравенству треугольника. Следовательно, окружность касается и стороны CD, т. е. вписана в четырёхугольник ABCD.

Итак, для того чтобы в выпуклый четырёхугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы его противоположных сторон были равны.

Рейтинг@Mail.ru