Геометрия
10-11 классы

       

§ 19. Конус

19.1 Определение и общие свойства конуса

Форму конуса (приближённо) имеют терриконы и вулканы, воронки и колбы (рис. 160), кульки и кучи песка. В геометрии же конус, как и цилиндр, определяют как фигуру, образованную отрезками.

Рис. 160

Пусть даны плоская фигура F и некоторая точка Р, не лежащая с фигурой F в одной плоскости. Отрезки, проведённые из точки Р во все точки фигуры F, образуют фигуру, которую называют конусом; точка Р называется вершиной конуса, фигура F — основанием конуса (рис. 161, а).

Рис. 161

Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками его основания, называются образующими конуса. Высотой конуса называется перпендикуляр из вершины конуса на плоскость его основания (рис. 161, б), а также длина этого перпендикуляра.

Теорема 19 (о сечении конуса). Если плоскость пересекает конус параллельна его основанию, то сечение конуса такой плоскостью подобно основанию конуса.

В стереометрии, как и в планиметрии, фигура F' подобна фигуре F с коэффициентом k > 0, если можно так сопоставить их точки, что X'Y' = kXY для любых точек X, Y фигуры F и соответствующих им точек Х', Y' фигуры F' (рис. 162, а).

Рис. 162

Доказательство. Пусть Р — вершина конуса К, F — его основание, F' — сечение конуса плоскостью α', параллельной плоскости основания α (рис. 162, б).

Докажем, что фигуры F' и F подобны. Для этого каждой точке X ∈ F сопоставим точку X' ∈ F', в которой отрезок РХ пересекает плоскость α'.

Проведём высоту РА конуса К, и пусть А' — точка, в которой высота РА пересекает плоскость α'. Отрезок РА' является высотой конуса К', отсечённого плоскостью α'.

Возьмём любые две точки X, Y основания F, и пусть X', Y' — соответствующие им точки F'. Рассмотрим треугольники PXY и P'X'Y'.

Они подобны, так как отрезки X'Y' и XY параллельны (поскольку плоскость PXY пересекает параллельные плоскости α' и α по параллельным прямым). Поэтому

X'Y' : XY = РХ' : РХ.

Теперь рассмотрим треугольники РАХ и РА'Х'. Они также подобны, и потому

РХ' : РХ = РА' : РА.

Из этих равенств следует, что

X'Y' : XY = PA' : PA.

Это и означает подобие фигур F' и F.

Замечание. Коэффициент подобия k = РА' : РА, т. е. коэффициент подобия равен отношению расстояния от вершины конуса до плоскости сечения к высоте конуса.

19.2 Конус вращения

Рассмотрим конус, у которого основание — круг, а вершина Р проектируется в центр О его основания (рис. 163). Как следует из теоремы о сечении конуса, в пересечении такого конуса с плоскостями, параллельными основанию (и тем самым перпендикулярными его высоте РО), получаются круги с центрами на высоте РО (рис. 164, а). Следовательно, рассматриваемый конус является фигурой вращения: его высота и есть его ось вращения. Поэтому такой конус называют конусом вращения.

Рис. 163

Итак, конусом вращения называется конус, основание которого — круг и вершина которого проектируется в центр основания.

Осевые сечения конуса вращения — это его сечения плоскостями, проходящими через ось (рис. 164, б). Все такие сечения представляют собой равнобедренные треугольники (почему?). «Половина» этого сечения — прямоугольный треугольник с катетом на оси. Прямой круговой конус и получается вращением такого треугольника вокруг этого катета или равнобедренного треугольника вокруг оси симметрии. Любая плоскость, проходящая через ось конуса вращения, является его плоскостью симметрии.

Рис. 164

Фигура, состоящая из тех образующих конуса вращения, которые соединяют его вершину с окружностью основания, называется боковой поверхностью этого конуса. Она сама является конусом с той же вершиной, а основанием его служит окружность основания конуса вращения. Поверхностью конуса вращения называется объединение его основания и его боковой поверхности.

19.3 Усечённый конус

Усечённый конус получается, если от конуса отсечь меньший конус плоскостью, параллельной основанию (рис. 164, в). В усечённом конусе два основания: «нижнее» —основание исходного конуса и «верхнее» — основание отсекаемого конуса; по теореме о сечении конуса оно подобно «нижнему» основанию.

Высотой усечённого конуса называется перпендикуляр, опущенный из точки плоскости одного основания на плоскость другого. Все такие перпендикуляры равны (см. п. 14.2). Высотой называют также их длину, т. е. расстояние между плоскостями оснований.

Усечённый конус вращения получается из конуса вращения (рис. 165, а). Поэтому его основания и все параллельные им сечения — круги с центрами на одной прямой — на оси. Усечённый конус вращения получается вращением прямоугольной трапеции вокруг её боковой стороны, перпендикулярной основаниям, или равнобедренной трапеции вокруг оси симметрии (рис. 165, б).

Рис. 165

Боковая поверхность усечённого конуса вращения — это принадлежащая ему часть боковой поверхности конуса вращения, из которой он получен. Поверхность усечённого конуса вращения (или его полная поверхность) — это объединение его оснований и его боковой поверхности.

19.4 Конические сечения

Мы уже говорили в п. 18.4, что боковую поверхность цилиндра вращения плоскость пересекает по эллипсу. Так же и сечение боковой поверхности конуса вращения плоскостью, не пересекающей его основание, является эллипсом (рис. 165, в). Поэтому эллипс называется коническим сечением.

К коническим сечениям относятся и другие хорошо известные кривые — гиперболы и параболы. Рассмотрим неограниченный конус, получающийся продолжением боковой поверхности конуса вращения (рис. 166). Пересечём его плоскостью α, не проходящей через вершину. Если α пересекает все образующие конуса, то в сечении, как уже сказано, получается эллипс (см. рис. 165, в).

Рис. 166

Поворачивая плоскость α, можно добиться того, чтобы она пересекала все образующие конуса К, кроме одной (которой параллельна). Тогда в сечении получим параболу (рис. 167, а).

Рис. 167

Наконец, вращая плоскость α дальше, переведём её в такое положение, при котором она пересекает часть образующих конуса К, не пересекает бесконечное множество других его образующих, причём двум из них параллельна (рис. 167, б). Тогда в сечении конуса К плоскостью α получаем кривую, называемую гиперболой (точнее, одну её «ветвь»). Та известная вам гипербола, которая является графиком функции у = k/x, есть частный случай полученной нами гиперболы.

Чтобы получить обе ветви гиперболы, надо взять сечение конуса, образованного не лучами, а прямыми, проходящими через образующие боковой поверхности конуса вращения (рис. 167, в).

Конические сечения изучали ещё древнегреческие геометры, и их теория была одной из вершин античной геометрии. Наиболее полное исследование конических сечений в древности было проведено Аполлонием Пергским (III в. до н. э.).

Каждое коническое сечение (кроме окружности) представляет собой геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний которых от некоторой точки, называемой фокусом, и некоторой прямой, называемой директрисой, постоянно. У эллипса это отношение меньше единицы, у параболы — равно единице, а у гиперболы — больше единицы.

Если коническое сечение Н получено в сечении конуса К плоскостью α, то его фокусом является точка касания F такой сферы S с плоскостью α, которая одновременно касается и конуса К по некоторой окружности L (рис. 168). Директрисой же является прямая а, по которой пересекаются плоскость α с плоскостью β, в которой лежит окружность L. Убедимся в этом.

Рис. 168

Возьмём любую точку М сечения Н, проведём отрезок MF, перпендикуляр МА на прямую а и перпендикуляр MB на плоскость β. Пусть образующая конуса К, проходящая через точку М, пересекает окружность L в точке С. Тогда MF = МС (задача 16.14),

г

де φ — угол наклона образующих конуса К к плоскости β,

где γ — угол между плоскостями α и β. Поэтому отношение

и не зависит от выбора точки М на сечении Н. Попробуйте проверить, что для любой точки X плоскости α, не принадлежащей сечению Н, отношение

Конические сечения играют важную роль в природе: например, по эллиптическим, параболическим и гиперболическим орбитам движутся тела в поле тяготения (вспомните законы Кеплера). Замечательные свойства конических сечений используются в науке и технике, например при изготовлении прожекторов (поверхность зеркала в прожекторе может быть получена вращением дуги параболы вокруг её оси).

Мы можем наблюдать конические сечения как границы тени от круглых абажуров.

Вопросы для самоконтроля

  1. Какие вы знаете свойства конуса?
  2. Какие вы знаете свойства конуса вращения?
  3. Какой фигурой является сечение конуса вращения плоскостью:
    • а) параллельной основанию;
    • б) проходящей через вершину конуса?

Рейтинг@Mail.ru