Геометрия
10-11 классы

Задачи к главе II

  • II.1. Дан квадрат ABCD. Точка X — переменная точка перпендикуляра к его плоскости, проведённого из точки В. Пусть сторона квадрата равна d,
    • а) Найдите |ХА|, |ХС|, |ХD|, если |XB|=h.
    • б) Найдите |ХD|, если |ХA| = 1.
    • в) Какая сторона квадрата видна из точки X под бОльшим углом? А какая диагональ?
    • г) Докажите, что (ХАВ) ⊥ (ХВС), (ХАС) ⊥ (XBD).
    • д) Будут ли перпендикулярны плоскости XAD и XCD?
    • е) Как вычислить длину перпендикуляра из точки В на плоскость AХС, если |ХВ| = h?
  • II.2. Треугольник ABC равнобедренный с основанием ВС. Через вершину А проведена прямая, перпендикулярная его плоскости. Точка X — переменная точка этой прямой. Сравните углы ВХС и ВАС. Как изменяется угол ВХС при удалении точки X от А? Может ли он быть прямым? Как вычислить угол ВХС, если известны стороны треугольника ABC и длина перпендикуляра из точки X на плоскость ABC?
  • II.3. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Точка К — середина ВВ1, точка L — середина CC1, точка М — середина A1B1, точка С — середина BN. Нарисуйте перпендикуляр из:
    • а) А на (ВВ1D);
    • б) А1 на (AВ1D1);
    • в) D1 на [АВ1С);
    • г) К на (CDD1);
    • д) L на (BDB1);
    • е) М на (AВ1D1);
    • ж) N на (BDB1);
    • з) N на (DA1B1);
    • и) N на (A1C1В).

    Вычислите его длину, если ребро куба равно 1.

  • II.4.
    • а) Даны два параллелограмма АВВ1А1 и ACC1A1. Докажите, что треугольники ABC и А1В1С1 равны,
    • б) Через вершины треугольника ABC провели параллельные прямые, пересекающие его плоскость. С одной стороны от его плоскости на этих прямых отложили равные отрезки AA1, BB1, СС1. Докажите, что ΔАВС = ΔA1B1C1.
    • в) Обобщите утверждение б),
  • II.5.
    • а) Точка А лежит в плоскости α. На этой плоскости взяли прямую а, не проходящую через А, и провели к ней перпендикуляр АВ. Через точку В к прямой а провели другую перпендикулярную ей прямую ВС. Из точки А в плоскости ABC провели (AD) ⊥ (АВ). Докажите, что (AD) ⊥ α.
    • б) Составьте задачу, аналогичную задаче, рассмотренной в случае а), если А не лежит в α.
  • II.6. Из точки О — центра квадрата ABCD провели перпендикуляр OO1 на плоскость α. Через вершины квадрата провели отрезки, параллельные ОО1, до плоскости α.
    • а) Докажите, что если три из них равны, то все четыре равны,
    • б) Будет ли это верно, если равны два из них?
    • в) Пусть известны сторона квадрата, длина ОО1, и длины двух из проведённых отрезков. Можете ли вы найти длины остальных?
    • г) Пусть известны стороны квадрата и длина OO1,

    В каких границах лежит длина наибольшего из проведённых отрезков? наименьшего из них?

  • II.7. Плоскости α1 и α2 параллельны, плоскости β1, и β2 параллельны, плоскости α1, и β1 пересекаются по прямой а, плоскости α2 и β2 пересекаются по прямой Ь. Как расположены прямые а и Ь?
  • II. 8. Докажите, что две плоскости параллельны тогда и только тогда, когда параллельны перпендикулярные к ним прямые.
  • II. 9. Пусть прямая b параллельна прямой α и плоскости а. Как могут быть расположены прямая а и плоскость α?
  • II. 10. Прямые а и b скрещиваются. Постройте плоскость:
    • а) проходящую через а и параллельную b;
    • б) параллельную каждой из них;
    • в) параллельную а и пересекающую b.
    • г) Постройте две плоскости, проходящие через одну из прямых и параллельные другой. Как они расположены между собой? Единственна ли такая пара плоскостей?
  • II. 11. В правильном тетраэдре РАВС с ребром 1 точка О — центр его основания, точка К — середина ребра РА.
    1. Вычислите длину перпендикуляра из:
      • а) К на (ABC);
      • б) К на (РВС);
      • в) О на (РАС);
      • г) О на (ВСК).
    2. Нарисуйте два сечения этого тетраэдра, проходящие через точки К и О и параллельные плоскости ВСР. Во сколько раз площадь одного из них больше площади другого?
    3. Нарисуйте сечение этого тетраэдра, проходящее через точку О и параллельное рёбрам ВС и РА. Чему равны его периметр и площадь?
    4. Нарисуйте сечение этого тетраэдра, проходящее через точку К и параллельное ВС. Какое из них имеет наибольшую площадь?
    5. Нарисуйте сечение тетраэдра, проходящее через точку К и перпендикулярное плоскости РВС. Какую оно имеет форму?
  • II. 12. В правильной четырёхугольной пирамиде PABCD с ребром 1 точка О — центр основания, а точка К — середина PC.
    1. Вычислите длину перпендикуляра:
      • а) из К на (АВС);
      • б) из К на (PBD);
      • в) из О на (PCD).
    2. Вычислите площадь сечения пирамиды, проходящего через точку К параллельно:
      • а) (АВС);
      • б) (PBD);
      • в) (PAD).
    3. Нарисуйте сечение пирамиды, проходящее через К и параллельное прямым:
      • a) PQ и АВ;
      • б) PD и АС.

      Как вычислить его площадь?

    4. Нарисуйте сечение пирамиды, проходящее через:
      • а) К и параллельное (BD);
      • б) О и параллельное (CD).
    5. Нарисуйте сечение пирамиды, проходящее через:
      • а) К и перпендикулярное (ABC);
      • б) PQ и перпендикулярное (PAD);
      • в) К и перпендикулярное (PBD).
  • II. 13. Одна из диагоналей куба с ребром 1 лежит в плоскости α. В каких границах находятся длины проекций его рёбер и других диагоналей при проектировании на плоскость α?
  • II. 14. Параллелограмм лежит с одной стороны от плоскости α. Расстояния от трёх его вершин до плоскости α известны. Как вычислить расстояние до α от его четвёртой вершины? Как решить задачу, если параллелограмм будет лежать с разных сторон от α?
  • II. 15. На некоторой высоте над землёй произошёл взрыв. Его видели и слышали три человека, которые установили, на какой высоте он произошёл. Как они это сделали? Смогли бы с этой задачей справиться два человека?
  • II. 16. На плоскости α лежит угол, равный φ. Точка А не лежит в плоскости α. Известны расстояния от неё до вершины угла и до его сторон. Как найти расстояние от А до α?
  • II. 17. Две вершины параллелограмма лежат в плоскости α. Докажите, что две другие его вершины удалены от плоскости α на одинаковое расстояние. Составьте похожую задачу для других многоугольников.
  • II. 18. На сторонах АВ и CD прямоугольника ABCD построены с одной стороны от его плоскости два равных треугольника АКВ и CLD, плоскости которых перпендикулярны (ABC). Как расположены между собой (KL) и (AВС)?
  • II. 19. Дан реальный тетраэдр. Как вычислить угол между его боковым ребром и основанием, если измерения можно проводить только на его поверхности? При этом желательно обойтись наименьшим числом измерений.
  • II. 20. Отрезок АВ имеет длину 1 и упирается концами в две перпендикулярные плоскости α и β, причём А ∈ α, В ∈ β, ∠(AB)α = φ1 ∠(AB)β = φ2.
    • а) Найдите длину проекций отрезка АВ на каждую из плоскостей α и β, а также на прямую их пересечения р.
    • б) Найдите угол φ = ∠(AB)p.
  • II. 21. В правильной треугольной пирамиде угол при вершине в боковой грани равен φ. Выразите через него двугранный угол:
    • а) φ1 при основании;
    • 6) φ2 при боковом ребре.
  • II. 22. Прямая лежит внутри двугранного угла величиной φ и параллельна его граням. Известны расстояния от неё до каждой из граней. Можете ли вы найти расстояние от этой прямой до ребра двугранного угла?
  • II. 23. Плоскости α и β пересекаются по прямой р, ∠αβ = φ. Точка А ∈ α.
    • а) Как, зная |Ар| и φ, вычислить |Aα|?
    • б) Составьте другие задачи для этой же ситуации,
    • в) Пусть теперь B ∈ β.

    Докажите, что равенство |Aβ| = |Вα| равносильно равенству |Ар| = |Вр|.

  • II. 24. В правильной треугольной пирамиде угол между боковой гранью и плоскостью основания равен φ. Сторона основания равна 1. Найдите расстояние от:
    • а) вершины пирамиды до основания;
    • б) вершины основания до противоположной боковой грани.
  • II. 25. В правильной треугольной призме ABСA1В1С1 с ребром 1 через сторону ВС проводится сечение под углом φ к основанию,
    • а) Вычислите площадь сечения при φ = 30°, 45°, 60°.
    • б) Выразите площадь сечения как функцию от φ.
  • II. 26. Докажите, что угол между плоскостями равен углу между прямыми, перпендикулярными этим плоскостям.
  • II. 27. Биссектором двугранного угла называется полуплоскость, ограниченная его ребром, которая делит данный двугранный угол на два равных по величине двугранных угла. Докажите, что биссектор двугранного угла есть множество точек угла, равноудалённых от его граней.
  • II. 28. Дан правильный тетраэдр ABCD с ребром 1. Переменная плоскость перпендикулярна отрезку, соединяющему середины К и М его противоположных рёбер. Пусть расстояние от неё до К равно х. Выразите как функцию от х площадь такого сечения. Какое из сечений тетраэдра этой плоскостью имеет наибольшую площадь? А наибольший периметр?
  • II. 29. В правильной четырёхугольной пирамиде PABCD с ребром основания а и высотой h рассматриваются сечения плоскостью, параллельной плоскости PKL, где точка К — середина ребра AD, а точка L — середина ребра ВС. Пусть х—расстояние от него до высоты пирамиды. Выразите как функцию от х площадь такого сечения. Какое из этих сечений имеет наибольшую площадь?
  • II. 30. В правильной четырёхугольной пирамиде, у которой все рёбра равны 1, проводится сечение, перпендикулярное:
    • а) диагонали основания;
    • б) ребру основания;
    • в) боковому ребру.

    Выберите сами независимую переменную х и выразите как функцию от этой переменной площадь такого сечения. Какое из этих сечений имеет наибольшую площадь? А периметр?

  • II. 31. В основании четырёхугольной пирамиды PABCD лежит квадрат со стороной 1. Грань РАВ перпендикулярна основанию и является равносторонним треугольником. В этой пирамиде проводится сечение, параллельное плоскости PCD. Пусть х — расстояние от него до грани PCD. Выразите как функцию от х площадь такого сечения. В каком положении это сечение имеет наибольшую площадь?
  • II. 32. На диагоналях смежных граней куба с ребром 1, лежащих на скрещивающихся прямых, лежат концы отрезка, параллельного грани куба. Пусть х — расстояние от него до ближайшей параллельной грани. Выразите как функцию от х длину этого отрезка. Какой из таких отрезков является наибольшим? А наименьшим?
  • II. 33. Дан куб ABCDA1B1C1D1.
    • а) Плоскость α перпендикулярна прямой А1С1, а плоскость β параллельна прямой CD1. Чему равен угол между этими плоскостями?
    • б) Найдите угол между плоскостями DA1B1 и AB1C1.
  • II. 34. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 все боковые грани — квадраты со стороной 1. Точка К — середина ребра АС, точка L — середина ребра АВ, точка М — середина ребра BB1, точка N — переменная точка ребра АА1. Проводятся сечения призмы плоскостями KLM и BCN и рассматривается общий отрезок этих сечений. Пусть х — расстояние от этого отрезка до ближайшего основания призмы. Выразите как функцию от этой переменной длину этого отрезка. Какой из таких отрезков является наибольшим? А наименьшим?
  • II.35. Дана правильная треугольная призма, у которой все рёбра равны 1. Концы переменного отрезка лежат на двух скрещивающихся диагоналях её граней, а сам этот отрезок параллелен:
    • а) плоскости основания призмы;
    • б) плоскости третьей её боковой грани.

    Выберите независимую переменную х и выразите через х длину такого отрезка. В каком положении такой отрезок является наибольшим и наименьшим?

  • II. 36. В правильной треугольной призме, у которой все рёбра равны 1, проводится сечение:
    • а) через вершину основания и параллельно противоположной стороне этого основания;
    • б) через ребро основания;
    • в) перпендикулярное медиане одного из оснований;
    • г) перпендикулярное диагонали одной из граней;
    • д) перпендикулярное прямой, проходящей через одну из вершин и середину ребра, не лежащего с ней в одной грани.

    Выберите сами независимую переменную х и выразите как функцию от этой переменной площадь такого сечения. Можете ли вы установить, в каком положении достигает наибольшего значения площадь такого сечения? А периметр?

  • II.37. Пусть РАВС — правильный тетраэдр, РО — его высота. Точка X лежит на ребре PC, точка Y лежит на грани АРС, точка Z лежит на ребре АВ. Когда достигает граничных значений (наибольшего и наименьшего) угол, который составляет с прямой РО прямая:
    • а) АХ;
    • б) XZ;
    • в) BY?

Итоги главы II

Три теоремы существования и единственности можно назвать основными в данной главе.

  1. Через каждую точку проходит прямая, перпендикулярная данной плоскости, и притом только одна (теорема 10 п. 9.1).
  2. Через каждую точку проходит плоскость, перпендикулярная данной прямой, и притом только одна (теорема 11 п. 9.2).
  3. Через каждую точку, не лежащую в данной плоскости, проходит плоскость, параллельная данной плоскости, и притом только одна (теорема 13 п. 11.3).

Следствием теоремы 11 является признак параллельности плоскостей: две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны.

Признаком параллельности прямых является теорема 8 (п. 8.1): две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

На предложения, обратные этим признакам параллельности, можно смотреть как на признаки перпендикулярности прямой и плоскости:

  1. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой (теорема 12 п. 11.2).
  2. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости (теорема 9 п. 8.2).

Все эти теоремы дают возможность представлять себе пространство «расслоённым» на семейство параллельных плоскостей, перпендикулярных некоторой прямой (рис. 136, а), или «расслоённым» на семейство параллельных прямых, перпендикулярных некоторой плоскости (рис. 136,6).

Рис. 136

Конечно, следует помнить следующие четыре признака перпендикулярности (параллельности) прямой и плоскости, а также перпендикулярности (параллельности) плоскостей.

  1. Прямая, перпендикулярная двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, перпендикулярна этой плоскости (теорема 6 п. 7.1).
  2. Если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости взаимно перпендикулярны (п. 10.3).
  3. Если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то эти плоскости параллельны (теорема 15 п. 12.2).
  4. Если прямая параллельна некоторой прямой, лежащей в данной плоскости, но сама не содержится в данной плоскости, то она параллельна этой плоскости (теорема 14 п. 12.1).

Отметим ещё теорему о трёх перпендикулярах (п. 13.2): наклонная к плоскости перпендикулярна к прямой, лежащей в этой плоскости, тогда и только тогда, когда проекция наклонной перпендикулярна этой прямой, а также утверждение о равенстве углов с сонаправлен-ными сторонами (п. 15.2).

В целом же содержание глав I и II можно назвать «Началами стереометрии», так как в этих главах речь шла в основном о прямых и плоскостях, а изучение более сложных пространственных фигур начнётся с главы III.


Рейтинг@Mail.ru