Геометрия
10-11 классы

§ 15. Углы

15.1 Сонаправленность лучей

Два луча а и b называются сонаправленными, если они перпендикулярны некоторой плоскости α и лежат с одной стороны от неё (рис. 125).

Рис. 125

Для сонаправленных лучей а и b употребляется обозначение: а ↑↑ b.

Из данного определения и теоремы о параллельности перпендикуляров следует, что возможны два случая расположения сонаправленных лучей:

  1. два сонаправленных луча лежат на одной прямой, и тогда один из них содержит другой (рис. 126, а);
  2. два сонаправленных луча лежат на параллельных прямых, и тогда они лежат с одной стороны от прямой, проходящей через их начала (рис. 126, б).

Рис. 126

Основной признак сонаправленности лучей даёт следующая лемма:

Лемма (о сонаправленности лучей). Два луча, сонаправленные с третьим лучом, сонаправлены.

Доказательство. Пусть лучи а и b сонаправлены с лучом с. Докажем, что а и b сонаправлены. Так как a ↑↑ с, то они перпендикулярны некоторой плоскости α и лежат с одной стороны от неё. Аналогично b и с перпендикулярны некоторой плоскости β и лежат с одной стороны от β. Так как α и β перпендикулярны одной прямой, на которой лежит луч с, то α || β (рис. 127).

Рис. 127

Пусть плоскость α удалена от начала луча с дальше, чем плоскость β. Тогда все лучи а, b, с лежат с одной стороны от плоскости α и все перпендикулярны ей (по теоремам из пп. 8.1 и 8.2.). Поэтому лучи а и b сонаправлены. Если даны луч р и точка А, то из точки А можно провести единственный луч q, сонаправленный с лучом р.

Строя этот луч, надо рассмотреть два случая:

  1. точка А и луч р лежат на одной прямой;
  2. они не лежат на одной прямой.

В первом случае один из лучей р или q содержит другой (рис. 128, а). Во втором случае лучи р и q лежат на параллельных прямых с одной стороны от прямой, проходящей через их начала (рис. 128, б).

Рис. 128

15.2 Угол между лучами

Угол между сонаправленными лучами полагается равным 0°.

Если лучи р и q не сонаправлены и имеют общее начало, то угол между ними определяется как величина плоского угла со сторонами р и q.

Наконец, в общем случае, когда лучи р и q не сонаправлены и имеют различные начала, поступают так: из любой точки О проводят лучи р' и q', сонаправленные соответственно с лучами р и q (рис. 129). Углом между р и q называется величина угла между р' и q'.

Рис. 129

Угол между лучами р и q обозначается так: ∠(pq).

Угол между р и q не зависит от выбора точки О. Это вытекает из следующей леммы:

Лемма (об углах с сонаправленными сторонами ). Углы, стороны которых соответственно сонаправлены, равны.

Доказательство. Пусть даны два угла с вершинами в точках О и О' и соответственно со-направленными сторонами: р ↑↑ р' и q ↑↑ q'. В частном случае, когда у этих углов есть стороны, лежащие на одной прямой, утверждение леммы вытекает из равенства соответственных углов при параллельных прямых, пересечённых третьей прямой (рис. 130, а). Поэтому рассмотрим общий случай, когда стороны углов не лежат на одной прямой.

Рис. 130

Отложим на сонаправленных сторонах этих углов равные отрезки: ОА = ОА' на р и р', а также OВ = O'В' на q и q' (рис. 130, б). Проведём отрезки ОО', АА', ВВ', АВ и А'В'. Так как ОА = ОА' и ОА || ОА', то четырёхугольник ОАА'О' — параллелограмм. Поэтому АА' = ОО', АА' || ОО'. Аналогично OO' = ВВOO' || ВВ'. Поэтому АА' = ВВ', АА || ВВ', т. е. четырёхугольник АА'В'В — параллелограмм. Следовательно, АВ = А'В'.

Итак, в треугольниках ОАВ и О'А'В' соответственные стороны равны. Но тогда в них равны и соответственные углы. Итак, ∠AOB = ∠A'O'B', т. е. ∠(pq) = ∠(p'q').

Пусть теперь даны два луча р и q. Из точек А и В проведём сонаправленные с ними лучи р, q' и p", q” (рис. 131). По лемме о сонаправленности лучей (п. 15.1) р' || р" и q' || q". А тогда по лемме об углах с сонаправленными сторонами, доказанной в этом пункте, ∠(p'q') = ∠(p"q")9 как и говорилось при определении угла между р и q.

Рис. 131

15.3 Угол между прямыми

Если прямые пересекаются, то угол между ними, как известно из планиметрии, равен величине вертикальных не тупых углов, образованных этими же прямыми.

Если же прямые скрещиваются, то угол между ними определяют так: через любую точку проводят прямые, параллельные данным, и находят угол между этими прямыми.

В частности, мы можем теперь говорить о взаимно перпендикулярных скрещивающихся прямых и отрезках, если угол между ними равен 90° (отрезки взаимно перпендикулярны, если они лежат на взаимно перпендикулярных прямых).

При таком расширении понятия перпендикулярности прямых, лучей и отрезков остаются справедливыми доказанные ранее теоремы, в которых перпендикулярность рассматривалась лишь для пересекающихся прямых, лучей и отрезков: признак перпендикулярности прямой и плоскости (п. 7.1) и теорема о трёх перпендикулярах (п. 13.2).

Убедитесь в этом!

В дальнейшем мы будем применять эти теоремы именно в этом более широком смысле. Так, например, прямая а перпендикулярна плоскости α, если она перпендикулярна любым двум пересекающимся прямым, лежащим на этой плоскости. Эти прямые прямую а могут и не пересекать.

15.4 Угол между прямой и плоскостью

Мы уже подробно изучили два важнейших случая взаимного расположения прямой и плоскости: перпендикулярность и параллельность. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости. Поэтому естественно считать, что угол между взаимно перпендикулярными прямой и плоскостью равен 90°. Если же прямая параллельна плоскости или лежит в ней, то угол между ними считается равным 0°.

Рассмотрим общий случай, когда прямая а пересекает плоскость α, но не перпендикулярна ей (рис. 132), т. е. случай прямой, наклонной к плоскости. Характеризуя взаимное расположение таких прямых, часто указывают, насколько прямая отклонилась от перпендикуляра к плоскости. Например, в оптике говорят про угол падения луча света на плоскую поверхность, т. е. про угол между прямой и перпендикуляром (нормалью) к данной плоскости (рис. 132, а). Но в геометрии, оценивая наклон прямой к плоскости, рассматривают не этот угол, а угол, дополняющий его до 90°, т. е. показывающий, насколько прямая отклонилась от плоскости.

Рис. 132

Углом между плоскостью и наклонной к ней прямой называется угол φ между этой прямой и её проекцией на данную плоскость (рис. 132, б).

Ясно, почему это определение исключает случай, когда прямая перпендикулярна плоскости: проекцией такой прямой на плоскость будет точка.

Угол между прямой а и плоскостью α обозначается так: ∠aα.

Угол между прямой и плоскостью обладает следующим минимальным свойством: он является наименьшим среди всех углов, образованных данной прямой с прямыми на плоскости. Докажите это свойство сами.

Вопросы для самоконтроля

  1. Как определяется угол между:
    • а) лучами;
    • б) прямыми?
  2. В каких теоремах может быть использована перпендикулярность скрещивающихся прямых? Сформулируйте их.
  3. Как вычислить угол между прямой и плоскостью?
  4. Какой угол образуют между собой:
    • а) перпендикулярные прямая и плоскость;
    • б) параллельные прямая и плоскость?


Рейтинг@Mail.ru