Геометрия
10-11 классы

       

Задачи к § 14

  • 14.1. Зная, что общие перпендикуляры двух параллельных плоскостей равны, докажите более общее утверждение: параллельные отрезки с концами на параллельных плоскостях равны. Проверьте обратное утверждение.
  • 14.2. Даны две параллельные плоскости. Какую фигуру образуют все точки, равноудалённые от этих плоскостей?
  • 14.3. Отрезок соединяет центры оснований пра-вильной призмы. Докажите, что он:
    • а) является её высотой;
    • б) равноудалён от всех боковых граней призмы.
Задачи к п. 14.2
  • 14.4. Пусть α || β, А ∈ α, В ∈ β.
    • а) | Aβ | = 1. Найдите | Bα |.
    • б) В каких границах лежит | αβ |, если АВ = 1 ?
  • 14.5. Пусть α || β.
    • а) Пусть известны |Аα | и |Аβ|. Как вычислить | αβ |?
    • б) Пусть известны |Aα| и |αβ|. Как вычислить | Aβ |?
  • 14.6. Пусть α ||β и β || γ. Как вычислить | αγ |, зная | αβ | и | βγ |?
  • 14.7. Докажите, что высота прямой призмы равна её боковому ребру.
  • 14.8.
      а) Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 1 и составляет с двумя рёбрами основания углы 60° и 45°. Чему равна его высота? б) К какому выводу вы придёте, если замените угол 60° на 30°?
  • 14.9. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 в вершине А сходятся три ромба со стороной 2 и острым углом при вершине А, равным 60°. Нарисуйте и вычислите высоту параллелепипеда.
  • 14.10. Основание треугольной призмы АВСА1В1С1 — равносторонний треугольник со стороной 2, ∠A1AC = ∠A1AB = 60°. Нарисуйте и вычислите высоту призмы, если | АА1 | равно:
    • а) 1;
    • б) 2;
    • в) 3.
  • 14.11. Пусть а || α, A ∈ а.
    • а) |Aα| = 1. Найдите |аα|.
    • б) |аα| = d. Найдите |Aα|.
  • 14.12. Пусть а || α, | Ха | = 1. В каких границах лежит | Хα |, если | аα | равно:
    • а) 1;
    • б) 2;
    • в) 0,5?
  • 14.13.
    • а) Прямые а и b перпендикулярны плоскости а и пересекают её в точках А и В. Докажите, что | ab | = | АВ |.
    • б) Как вы будете искать расстояние между двумя вертикальными столбами?
  • 14.14. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 |AB| = 1, |AD| = 2, |AA1|=3. Вычислите расстояние между:
    • а) прямой АВ и плоскостью CDD1;
    • б) прямой С1В и плоскостью AA1D1;
    • в) прямой BD и плоскостью AB1D1.
  • 14.15. Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1 с рёбрами |AС|=1 и |АA1|=2. Найдите расстояния от прямой:
    • а) АВ до плоскости А1В1С1;
    • б) СС1 до плоскости АА1В1;
    • в) проходящей через центры оснований до боковых граней.
  • 14.16. Через две параллельные прямые а и Ь проходят две параллельные плоскости α и β. В каких границах лежит | αβ |, если | ab | = 1?
  • 14.17. Через две параллельные прямые а и b проходят две перпендикулярные плоскости α и β, пересекающиеся по прямой р. В каких границах находится расстояние от прямой р до плоскости, проходящей через прямые а и Ь, если | аЬ | = 1?
  • 14.18.
    • а) Прямая а перпендикулярна плоскости а и пересекает её в точке А. Прямая b лежит в плоскости а и скрещивается с прямой а. Докажите, что | ab | = | Аb |.
    • б) Даны две прямые а и b. Точка X — переменная точка прямой а. Как меняется |Хb| при движении точки X в одном направлении?
  • 14.19. Дан куб ABCDA1В&1С1D1 с ребром 1. Найдите расстояния между прямыми:
    • а) AD и ВВ1;
    • б) B1D1 и АС;
    • в) CD1 и AD;
    • г) CD1 и A1D;
    • д) B1D и АС.

Задачи к п. 14.3

  • 14.20. Какую фигуру образуют точки X, удовлетворяющие условию:
    • а) |Ха| = d;
    • б) |Ха| ≤ d;
    • в) |Xa| > d;
    • г) d1≤ |Ха| ≤ d2?
  • 14.21. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 2. Нарисуйте его сечение плоскостью, удалённой на 1 от плоскости:
    • a) AA1D1;
    • б) АА1С1;
    • в) A1BD1.

    Нарисуйте его сечение плоскостью, равноудалённой от плоскостей:

    • г) АA1B1 и CDD1;
    • д) AD1C и BA1C1.
  • 14.22. Даны две параллельные плоскости. Какую фигуру образуют точки, лежащие ближе к первой из них, чем ко второй?
  • 14.23. Почему стол на четырёх ножках не всегда устойчив?
  • 14.24. В прямоугольном параллелепипеде провели сечение, плоскость которого равноудалена от двух его параллельных граней. Докажите, что в этой плоскости лежат:
    • а) середины четырёх его рёбер;
    • б) середины диагоналей.

Рейтинг@Mail.ru