Учебник для 10-11 классов

ГЕОМЕТРИЯ

§ 14. Расстояние между фигурами и параллельность

14.1 Расстояние между фигурами

Мы уже определили расстояние от точки до фигуры. Но часто надо решить более общую задачу — найти расстояние между двумя фигурами. Например, как определить расстояние между Англией и Францией, чтобы построить туннель под Ла-Маншем? Ясно, что надо искать ближайшие точки этих фигур, иначе говоря, искать кратчайший среди всех отрезков, соединяющих точки этих фигур. Представление о нём даёт вытянутая рука, когда вы с трудом достаёте некоторый предмет.

Точки А₁ и А₂ фигур F₁ и F₂ называются их ближайшими точками, если для любых точек X₁ ∈ F₁ и Х₂ ∈ F₂ выполняется неравенство А₁А₂ ≤ Х₁Х₂ (рис. 121, а). Расстоянием между двумя фигурами называется расстояние между ближайшими точками этих фигур (если такие точки есть). Расстояние от точки до фигуры является частным случаем расстояния между фигурами, когда одна фигура — точка. Расстояние между фигурами будем обозначать | F₁F₂ |, где F₁ и F₂ — данные фигуры.

Рис. 121

На рисунке 121, б приведены примеры ближайших точек А и В фигур, лежащих в одной плоскости, — двух параллельных прямых, прямой и круга, двух кругов.

Может быть, что ближайших точек у фигур нет. Например, если F₁ — центр круга, а Р₁ — фигура, состоящая из точек, лежащих вне этого круга. Тогда расстояние между фигурами определяется иначе. Но мы такие случаи не рассматриваем.

14.2 Расстояние между прямыми и плоскостями

Решим задачу о расстоянии между двумя фигурами для простейших случаев, когда эти фигуры — прямые или плоскости, не имеющие общих точек.

Мы покажем, что во всех возможных случаях расстояния между этими фигурами равны длинам их общих перпендикуляров.

Рассмотрим последовательно эти случаи.

1. Параллельные прямые а и b. Из любой точки А ∈ а проведём общий перпендикуляр этих прямых АВ (рис. 122, а). Он является кратчайшим отрезком, соединяющим точки этих прямых.

Рис. 122

В самом деле, если точки X ∈ а и Y ∈ b таковы, что XY — другой общий перпендикуляр этих прямых, то XY = AB. А если XY не является общим перпендикуляром этих прямых, то XY > АВ.

Итак, | ab | — это длина общего перпендикуляра прямых а и b.

2. Параллельные прямая а и плоскость а (рис. 122, б). Доказательство такое же, как в случае 1, и оно вас не затруднит.
3. Параллельные плоскости α и β (рис. 122, в). Доказательство этого случая также несложное. Сделайте его самостоятельно.

   Примером расстояния между параллельными плоскостями может служить высота призмы. Основания призмы лежат в параллельных плоскостях, а сама она — между этими плоскостями. Высотой призмы называется перпендикуляр, проведённый из любой точки одного основания призмы на плоскость другого основания, а также его длина. Поэтому можно сказать, что высота призмы — это расстояние между плоскостями её оснований. Высота потолка в комнате — это расстояние между полом и потолком, а потому и высота призмы, т. е. комнаты.

4. Скрещивающиеся прямые а и b (рис. 123, а на с. 100). Они лежат в параллельных плоскостях α и β. Проекция а' прямой а на плоскость β пересекает прямую b в некоторой точке В. Точка В является проекцией на β некоторой точки А е α. Отрезок АВ будет общим перпендикуляром плоскостей α и β, а потому и общим перпендикуляром прямых а и Ь. Возьмём теперь любой другой отрезок XY, где X ∈ а, Y ∈ b. Так как XY не является общим перпендикуляром плоскостей α и β, то АВ < XY. Поэтому расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.

Рис. 123

Чтобы вычислить это расстояние, необязательно строить общий перпендикуляр прямых а и Ь. Можно из любой точки М прямой а опустить перпендикуляр на плоскость Р и найти его длину. А можно найти длину любого общего перпендикуляра плоскостей α и β.

Так же поступаем, когда находим расстояние от любой фигуры F, лежащей в некоторой плоскости α, до параллельной ей плоскости β (рис. 123, б). Высота здания с плоской крышей — пример такого расстояния.

14.3 Расстояние и параллельность

Параллельные прямые и плоскости определяются как прямые и плоскости, которые не пересекаются (на всём их бесконечном протяжении). Но реально мы имеем дело с конечными частями прямых и плоскостей. Параллельность противоположных краёв доски, так же как параллельность междуэтажных перекрытий, определяется не тем, что получается при их бесконечном продолжении. Никакой плотник не продолжает краёв доски до бесконечности, как и строители даже мысленно не продолжают междуэтажные перекрытия. На самом деле в параллельных прямых и плоскостях важны и имеют реальный смысл те их свойства, которые относятся к их конечным частям. На основании этих же свойств производится построение параллельных прямых и плоскостей, а в действительности — их конечных частей.

Важнейшим среди таких свойств, характеризующих параллельность прямых и плоскостей, является постоянство расстояния, т. е. равноудалённость точек одной прямой или плоскости от другой. Как вы установили самостоятельно в п. 14.2, все общие перпендикуляры двух параллельных плоскостей равны. Выполняется также и обратное утверждение: концы равных перпендикуляров к данной плоскости, расположенные с одной стороны от неё, лежат в одной плоскости, параллельной данной, и заполняют её.

Реальным воплощением отрезков, о которых идёт речь, могут представляться столбы и колонны, стоящие на основании здания и подпирающие параллельное ему перекрытие. На колонны равной высоты опирается верхняя плоскость здания, например греческого храма. И в современном строительстве укладывают междуэтажные перекрытия на вертикальных столбах равной высоты. Их верхние концы оказываются в плоскости, параллельной той, где лежат их основания (рис. 124).

Рис. 124

Вопросы для самоконтроля

1. Как найти расстояние между двумя фигурами?
2. Как найти расстояние между:
   • а) двумя параллельными плоскостями;
   • б) прямой и параллельной ей плоскостью?
3. Что такое высота призмы?
4. Как проверить на практике параллельность:
   • а) прямой и плоскости;
   • б) двух плоскостей?
5. При рассмотрении случая 4 п. 14.2 некоторые утверждения не доказаны. Какие? Как их доказать?