Геометрия
10-11 классы

§ 14. Расстояние между фигурами и параллельность

14.1 Расстояние между фигурами

Мы уже определили расстояние от точки до фигуры. Но часто надо решить более общую задачу — найти расстояние между двумя фигурами. Например, как определить расстояние между Англией и Францией, чтобы построить туннель под Ла-Маншем? Ясно, что надо искать ближайшие точки этих фигур, иначе говоря, искать кратчайший среди всех отрезков, соединяющих точки этих фигур. Представление о нём даёт вытянутая рука, когда вы с трудом достаёте некоторый предмет.

Точки А1 и А2 фигур F1 и F2 называются их ближайшими точками, если для любых точек X1 ∈ F1 и Х2 ∈ F2 выполняется неравенство А1А2 ≤ Х1Х2 (рис. 121, а). Расстоянием между двумя фигурами называется расстояние между ближайшими точками этих фигур (если такие точки есть). Расстояние от точки до фигуры является частным случаем расстояния между фигурами, когда одна фигура — точка. Расстояние между фигурами будем обозначать | F1F2 |, где F1 и F2 — данные фигуры.

Рис. 121

На рисунке 121, б приведены примеры ближайших точек А и В фигур, лежащих в одной плоскости, — двух параллельных прямых, прямой и круга, двух кругов.

Может быть, что ближайших точек у фигур нет. Например, если F1 — центр круга, а Р1 — фигура, состоящая из точек, лежащих вне этого круга. Тогда расстояние между фигурами определяется иначе. Но мы такие случаи не рассматриваем.

14.2 Расстояние между прямыми и плоскостями

Решим задачу о расстоянии между двумя фигурами для простейших случаев, когда эти фигуры — прямые или плоскости, не имеющие общих точек.

Мы покажем, что во всех возможных случаях расстояния между этими фигурами равны длинам их общих перпендикуляров.

Рассмотрим последовательно эти случаи.

  1. Параллельные прямые а и b. Из любой точки А ∈ а проведём общий перпендикуляр этих прямых АВ (рис. 122, а). Он является кратчайшим отрезком, соединяющим точки этих прямых.

Рис. 122

    В самом деле, если точки X ∈ а и Y ∈ b таковы, что XY — другой общий перпендикуляр этих прямых, то XY = AB. А если XY не является общим перпендикуляром этих прямых, то XY > АВ.

    Итак, | ab | — это длина общего перпендикуляра прямых а и b.

  1. Параллельные прямая а и плоскость а (рис. 122, б). Доказательство такое же, как в случае 1, и оно вас не затруднит.
  2. Параллельные плоскости α и β (рис. 122, в). Доказательство этого случая также несложное. Сделайте его самостоятельно.

    Примером расстояния между параллельными плоскостями может служить высота призмы. Основания призмы лежат в параллельных плоскостях, а сама она — между этими плоскостями. Высотой призмы называется перпендикуляр, проведённый из любой точки одного основания призмы на плоскость другого основания, а также его длина. Поэтому можно сказать, что высота призмы — это расстояние между плоскостями её оснований. Высота потолка в комнате — это расстояние между полом и потолком, а потому и высота призмы, т. е. комнаты.

  3. Скрещивающиеся прямые а и b (рис. 123, а на с. 100). Они лежат в параллельных плоскостях α и β. Проекция а' прямой а на плоскость β пересекает прямую b в некоторой точке В. Точка В является проекцией на β некоторой точки А е α. Отрезок АВ будет общим перпендикуляром плоскостей α и β, а потому и общим перпендикуляром прямых а и Ь. Возьмём теперь любой другой отрезок XY, где X ∈ а, Y ∈ b. Так как XY не является общим перпендикуляром плоскостей α и β, то АВ < XY. Поэтому расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.

Рис. 123

Чтобы вычислить это расстояние, необязательно строить общий перпендикуляр прямых а и Ь. Можно из любой точки М прямой а опустить перпендикуляр на плоскость Р и найти его длину. А можно найти длину любого общего перпендикуляра плоскостей α и β.

Так же поступаем, когда находим расстояние от любой фигуры F, лежащей в некоторой плоскости α, до параллельной ей плоскости β (рис. 123, б). Высота здания с плоской крышей — пример такого расстояния.

14.3 Расстояние и параллельность

Параллельные прямые и плоскости определяются как прямые и плоскости, которые не пересекаются (на всём их бесконечном протяжении). Но реально мы имеем дело с конечными частями прямых и плоскостей. Параллельность противоположных краёв доски, так же как параллельность междуэтажных перекрытий, определяется не тем, что получается при их бесконечном продолжении. Никакой плотник не продолжает краёв доски до бесконечности, как и строители даже мысленно не продолжают междуэтажные перекрытия. На самом деле в параллельных прямых и плоскостях важны и имеют реальный смысл те их свойства, которые относятся к их конечным частям. На основании этих же свойств производится построение параллельных прямых и плоскостей, а в действительности — их конечных частей.

Важнейшим среди таких свойств, характеризующих параллельность прямых и плоскостей, является постоянство расстояния, т. е. равноудалённость точек одной прямой или плоскости от другой. Как вы установили самостоятельно в п. 14.2, все общие перпендикуляры двух параллельных плоскостей равны. Выполняется также и обратное утверждение: концы равных перпендикуляров к данной плоскости, расположенные с одной стороны от неё, лежат в одной плоскости, параллельной данной, и заполняют её.

Реальным воплощением отрезков, о которых идёт речь, могут представляться столбы и колонны, стоящие на основании здания и подпирающие параллельное ему перекрытие. На колонны равной высоты опирается верхняя плоскость здания, например греческого храма. И в современном строительстве укладывают междуэтажные перекрытия на вертикальных столбах равной высоты. Их верхние концы оказываются в плоскости, параллельной той, где лежат их основания (рис. 124).

Рис. 124

Вопросы для самоконтроля

  1. Как найти расстояние между двумя фигурами?
  2. Как найти расстояние между:
    • а) двумя параллельными плоскостями;
    • б) прямой и параллельной ей плоскостью?
  3. Что такое высота призмы?
  4. Как проверить на практике параллельность:
    • а) прямой и плоскости;
    • б) двух плоскостей?
  5. При рассмотрении случая 4 п. 14.2 некоторые утверждения не доказаны. Какие? Как их доказать?


Рейтинг@Mail.ru