Геометрия
10-11 классы

Задачи к § 13

  • 13.1. Докажите, что квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений (длины, ширины, высоты).
  • 13.2. Треугольник ABC правильный со стороной, равной 1. Точка О — его центр, точка X — переменная точка прямой, перпендикулярной плоскости ABC и проходящей через точку О. Пусть d1 = | X (ABC) |, d2 = | XA |, d3 = | X (АВ) |. Установите зависимости между этими величинами. Получите также аналогичные зависимости для правильного n-угольника.
  • 13.3. Лучи ОА и ОВ лежат в плоскости α. Луч ОС образует с ними равные углы. Какое положение на плоскости α занимает проекция луча ОС на эту плоскость? Рассмотрите три возможных случая:
    • а) данные углы острые;
    • б) данные углы прямые;
    • в) данные углы тупые.

    Проверьте обратные утверждения.

Задачи к п. 13.1

  • 13.4. В тетраэдре РАВС углы во всех гранях при вершине В прямые. Нарисуйте проекцию:
    • а) РА на (ABC);
    • б) PC на (АВС);
    • в) ΔРАС на (АВС);
    • г) АС на (РАВ);
    • д) PC на (РАВ);
    • е) ΔРАС на (РАВ);
    • ж) ΔРАС на (РВС);
    • з) ΔРАВ на (РВС);
    • и) ΔАВС на (РАВ).
  • 13.5. Нарисуйте прямоугольный параллелепипед ABCDA^B:C^DV Нарисуйте проекцию на плоскость каждой его грани:
    • а) АА1;
    • б) CD1;
    • в) B1D;
    • г) сечения BB1D1D;
    • д) ΔAB1D1;
    • е) ΔВА1С1.
  • 13.6. Нарисуйте правильный тетраэдр РАВС.
    1. Нарисуйте проекцию:
      • а) РА на (АВС);
      • б) РА на (РВС);
      • в) АС на (РАВ0;
      • г) ΔРАС на (ABC).
    2. Пусть точка X движется по ребру РВ от Р к В. Как будет изменяться площадь проекции треугольника АХС на (ABC)?
  • 13.7. Пусть PABCD— правильная четырёхугольная пирамида. Нарисуйте проекцию:
    • а) РА на (ABC)',
    • б) РА на (PBD)\
    • в) AD на (РАС)',
    • г) ΔРВС на (ABC)',
    • д) ΔРАВ на (PBD);
    • e) ΔPBD на (РАС).
  • 13.8. Пусть треугольник ABC равнобедренный и его основание АС лежит в плоскости α. Пусть треугольник АВ1С— проекция треугольника ABC на α, a BD — высота треугольника ABC.
    • а) Докажите, что B1D — высота треугольника АВ1С.
    • б) Пусть BD : B1D = 2 : 1. Чему равно отношение площадей треугольников ABC и АВ1С?
    • в) Пусть отношение площадей треугольников ABC и АВ1С равно k. Чему равно отношение этих высот?
    • г) Пусть площадь треугольника ABC равна S. В каких границах лежит площадь треугольника АВ1С?
  • 13.9. Прямая а перпендикулярна плоскости α. Нарисуйте проекцию α на плоскость, проходящую через а.
  • 13.10.
    • а) Плоскости α и β перпендикулярны. Нарисуйте проекцию α и β на плоскость γ, перпендикулярную и к α, и к β.
    • б) Плоскости α и β пересекаются. Нарисуйте их проекцию на плоскость γ, перпендикулярную и к α, и к β.
  • 13.11. На рисунке 120 изображены проекции некоторой фигуры на три взаимно перпендикулярные плоскости. Нарисуйте эту фигуру.

Рис. 120

Задачи к п. 13.2

  • 13.12.
    • а) Пусть известны диагональ прямоугольного параллелепипеда и два его измерения. Как вычислить его третье измерение?
    • б) Пусть диагональ куба равна d. Чему равняется его ребро?
  • 13.13. Плоскости α и β взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой р. Из точки A ∈ α опущен перпендикуляр АА1 на прямую р. Из точки В ∈ β опущен перпендикуляр ВВ1 на прямую р. Докажите, что АВ2 = АА211В21 + В1В2.
  • 13.14. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 2. Вычислите расстояние:
    • а) А1К1 где точка К— середина ребра CD;
    • б) KL, где точка L — середина ребра С1В1;
    • в) LM, где точка М — центр грани ВВ1А1А.
  • 13.15. 0т верхнего конца столба тянут провод к стене дома. Какие данные нужны, чтобы вычислить длину провода?
  • 13.16. В пирамиде PABCD основание ABCD — квадрат. Ребро РВ перпендикулярно плоскости основания. Объясните, почему (DA) ⊥ (АР) и (DC) ⊥ (СР). Какая из этих «перпендикулярностей» останется, если ABCD будет прямоугольником; ромбом?
  • 13.17. Из точки О плоскости α проведён отрезок QP ⊥ α . Отрезок АВ лежит в плоскости α , и точка К — его середина. Объясните, почему АВ ⊥ РК, если точка О:
    • а) вершина равнобедренного треугольника ОАВ;
    • б) центр равностороннего треугольника ABC;
    • в) центр окружности, на которой лежат точки А и В.
  • 13.18. Нарисуйте плоскость α и в ней отрезок АВ. Проведите через точку А прямую а ⊥ АВ, лежащую в плоскости α, а через точку В прямую b ⊥ α.
    • а) Точку А соедините отрезком с любой точкой X прямой b. Докажите, что АХ ⊥ а.
    • б) На прямой b возьмите точку С и нарисуйте перпендикуляр из точки С на а.
    • в) Нарисуйте прямую, проходящую через А перпендикулярно а, но не перпендикулярную плоскости α. Будет ли она пересекать прямую b?
  • 13.19. Нарисуйте две пересекающиеся плоскости α и β. Пусть р — прямая их пересечения. Нарисуйте точку О, не лежащую в этих плоскостях, и перпендикуляры ОА и ОВ из точки О на плоскости α и β.
    • а) Нарисуйте перпендикуляр ОС из точки О на прямую р. Докажите, что (АВ) и (ОС) лежат в одной плоскости,
    • б) Нарисуйте перпендикуляры из точек А и В на прямую р. Совпали ли их основания на прямой р? Должны ли совпадать?
  • 13.20. Дан прямоугольный треугольник ABC.
    • а) Пусть точка К — середина гипотенузы АВ, отрезок KL перпендикулярен (ABC). Нарисуйте перпендикуляры из точки К на (АС) и (ВС). Как вычислить их длины, если известны стороны треугольника ABC и KL? В каком случае они равны?
    • б) Пусть | АС | = | ВС | = | KL | = 1, точка К находится на гипотенузе АВ и АК=х. Чему равны перпендикуляры из L на АС и ВС? В каких границах находятся их длины?
  • 13.21. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1. Точка К движется по диагонали А1С куба от А1 к С. Пусть А1К = х. Выразите через х расстояния от К до:
    • а) вершин куба;
    • б) рёбер куба;
    • в) граней куба.
    13.22.
    • а) Боковые грани треугольной пирамиды РАВС равнона-клонены к плоскости её основания ABC. Верно ли, что вершина Р пирамиды проектируется на плоскость её основания в центр окружности, вписанной в треугольник ABC?
    • б) Обобщите результат пункта «а» на n-угольные пирамиды, у которых боковые грани равнонаклонены к плоскости основания.
  • 13.23. Исследуем Основание четырёхугольной пирамиды PABCD — ромб ABCD, а её боковые грани равнонаклонены к плоскости основания,
    • а) Верно ли, что вершина Р проектируется на плоскость основания в точку пересечения диагоналей основания?
    • б) Найдите высоту и боковые рёбра пирамиды, если ромб ABCD имеет сторону 2, угол 60°, а боковые грани пирамиды наклонены к основанию под углом 45°.
  • 13.24. В основании четырёхугольной пирамиды лежит параллелограмм, а её боковые грани равнонаклонены к плоскости основания. Докажите, что основание пирамиды — ромб.
  • 13.25. Докажите, что боковые грани правильной пирамиды равнонаклонены к плоскости её основания.
  • 13.26. В основании четырёхугольной пирамиды лежит квадрат, а её боковые грани равнонаклонены к плоскости основания. Докажите, что пирамида правильная.

Задачи к п. 13.3

  • 13.27. В каких границах находится |Bα|, если:
    • а) | Aα | = 2, а точка В такова, что | АВ | = 1;
    • б) | Аα | = 1, а | AБ | = 2?
  • 13.28. Пусть известны |Aα|, | Вα | и угол между прямой АВ и её проекцией на плоскость α. Как найти | АВ |? А как найти длину проекции отрезка АВ на α?
  • 13.29.
    • а) Пусть АВ — наклонная к плоскости α, А ∈ α, | Ba | = d. Чему равно расстояние от середины АВ до α?
    • б) Пусть | Аα | = d1, | Bα |= d2, точка С — середина АВ. Чему равно | Сα |?
    • в) Точка С — середина АВ, | Aα | = d1, | Сα | = d2. Чему равно | Вα | ? (Точки А и В могут лежать с одной стороны от α и с разных сторон от неё. Рассмотрите оба случая.)
  • 13.30. Дан куб ABСDA1B1С1D1 с ребром 1, точка К - середина ребра C1D1, точка F - центр грани ВВ1С1С. Вычислите расстояние:
    • а) |A1(CDD1)|;
    • б) |A1(BB1D1)|;
    • в) |A1(AD1C1)|;
    • г) | К(А1В1В)|;
    • д) |К(АА1С1)|;
    • е) | К(А1В1С)|;
    • ж) | F(AA1D1)|;
    • з) | F (ABB1)|;
    • и) | Р(BB1D1)|;
    • к) | F(ACC1)|.
  • 13.31. Дан правильный тетраэдр РАВС с ребром 2. Точка К лежит на ребре РВ, и | PK | = x. Выразите через х расстояния:
    • а) | КС |;
    • б) |К(ВС)|;
    • в) | К (АС) |;
    • г) | К (ABC) |;
    • д) | К (АРС) |.

    В каких границах лежат эти расстояния? Могут ли быть равны расстояния от К до (ВС) и до (АС)? от К до (ABC) и до (АРС)?

Задачи к п. 13.4

  • 13.32. Сторона основания правильной четырёхугольной (треугольной) пирамиды равна а, а её боковые грани наклонены к плоскости основания под углом α.
    • а) Найдите площадь её боковой грани,
    • б) Сформулируйте и решите аналогичную задачу для правильной n-угольной пирамиды.
  • 13.33. Площадь боковой грани правильной четырёхугольной (треугольной) пирамиды равна S, а её боковые грани наклонены к плоскости основания под углом α.
    • а) Найдите площадь основания пирамиды и его сторону.
    • б) Сформулируйте и решите аналогичную задачу для правильной n-угольной пирамиды.
  • 13.34. Рёбра РА, РВ и PC тетраэдра РАВС попарно взаимно перпендикулярны. Такой тетраэдр назовём ортогональным. Треугольник ABC считаем основанием ортогонального тетраэдра. Пусть РА = а, РВ = Ь, РС = с.
    • а) Найдите тангенсы углов наклона боковых граней ортогонального тетраэдра к плоскости его основания.
    • б) Докажите, что S2 (ABC) = S2 (РАВ) + S2 (РВС) + S2 (РАС), где S — площадь.


Рейтинг@Mail.ru