Геометрия
10-11 классы

       

§ 13. Ортогональное проектирование

13.1 Ортогональное проектирование на прямую и на плоскость

Ортогональная проекция точки на прямую или на плоскость в стереометрии определяется дословно так же, как проекция точки на прямую в планиметрии. А именно если точка не лежит на данной прямой (плоскости), то ортогональной проекцией точки на прямую (на плоскость) называется основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую (плоскость).

Если же точка лежит на прямой (на плоскости), то она и есть своя проекция на эту прямую (плоскость) (рис. 109, а). Проекцией же фигуры F на плоскость α называется фигура F', состоящая из проекций всех точек фигуры F на эту плоскость (рис. 109, б). О проекции наклонной на плоскость уже говорилось в п. 6.1.

Рис. 109

Поскольку все прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны друг другу, то ортотональное проектирование на плоскость является частным случаем параллельного проектирования и тем самым обладает всеми свойствами параллельного проектирования.

Кроме точек и отрезков, рисуя изображение сферы, цилиндра или конуса, мы будем встречаться с проекцией окружности на плоскость (когда плоскость окружности не перпендикулярна плоскости проекции). Кривая, которая является проекцией окружности в этом случае, называется эллипсом (рис. 110, а). Эллипсом является и параллельная проекция окружности на плоскость (если направление проектирования не параллельно плоскости окружности). Если плоскость окружности параллельна плоскости проекции, то проекцией, очевидно, является равная ей окружность (рис. 110, б). Поэтому окружность является частным случаем эллипса. Эллипсы обладают многими замечательными свойствами. Эллипс имеет центр симметрии и две взаимно перпендикулярные оси симметрии. По эллипсам (эллиптическим орбитам) двигаются планеты вокруг Солнца. Солнце, однако, находится не в центре эллипса — орбиты планеты, а в точке, называемой фокусом эллипса.

Рис. 110

Ортогональное проектирование на одну, две и три плоскости широко используется в технике, в черчении. Изображение предмета в проекциях позволяет судить о его устройстве, без чего невозможно ни конструирование предмета, ни его изготовление.

В дальнейшем, говоря «проекция» или «проектирование», мы имеем в виду ортогональное проектирование и ортогональную проекцию, если нет специальных оговорок.

На ортогональном проектировании основан такой важный для инженеров раздел прикладной математики, как «Начертательная геометрия».

Начертательная геометрия была создана знаменитым французским математиком Гаспаром Монжем (1746—1818). В её основе лежит идея о том, что положение любой точки пространства можно задать её ортогональными проекциями на две взаимно перпендикулярные плоскости а1 и а2 (рис. 111).

Рис. 111

13.2 Теорема о трёх перпендикулярах

Вы уже давно знаете, что перпендикуляр, опущенный из точки на прямую, короче любой наклонной, соединяющей эту точку с точкой данной прямой. Вы знаете и аналогичное свойство перпендикуляра, опущенного на плоскость. Эти два минимальных свойства перпендикуляра объединяет следующая важная теорема:

Теорема 16 (о трёх перпендикулярах). Наклонная к плоскости перпендикулярна прямой, лежащей в этой плоскости, тогда и только тогда, когда проекция наклонной перпендикулярна этой прямой.

Доказательство. Пусть даны наклонная АС к плоскости а, её проекция ВС на эту плоскость и прямая а, лежащая в плоскости а и проходящая через точку С (рис. 112, а).

Рис. 112

В теореме два утверждения: 1) если AC ⊥ a, то ВС ⊥ а; 2) обратно, если ВС ⊥ а, то АС ⊥ а.

Докажем их. Возьмём переменную точку X прямой а (рис. 112,6) и рассмотрим две величины АХ2 и ВХ2. Так как АВ ⊥ а, то треугольник АВХ прямоугольный. Поэтому АХ2 = АВ2 + ВХ2. Значит, эти величины отличаются на постоянное слагаемое h = AB2:

AX2 = BX2 + h. (1)

Поэтому эти величины свои наименьшие значения принимают одновременно — в одной и той же точке. Из этого и следуют оба утверждения теоремы.

  1. Пусть AC ⊥ a. Тогда перпендикуляр АС к прямой а короче любой наклонной АХ к этой прямой. Значит, и отрезок ВС короче любого отрезка ВХ, когда Х ≠ С. Поэтому ВС ⊥ a. Первое утверждение доказано. Докажем второе.
  2. Пусть ВС ⊥ а. Тогда перпендикуляр ВС к прямой а короче любой наклонной ВХ к этой прямой. Поэтому и АС ≤ АХ, если Х ≠ С. Следовательно, AC ⊥ a.

В доказанной теореме рассматриваются три перпендикуляра: АВ ⊥ α, AC ⊥ a, ВС ⊥ a. Отсюда и её название — теорема о трёх перпендикулярах. Эта теорема связывает также проектирование на прямую и проектирование на плоскость. Согласно этой теореме проекцию точки А на прямую а — точку С — можно получить и так: сначала спроектировать точку А на плоскость α в точку В, а затем спроектировать точку В на прямую а. В результате получим ту же самую точку С.

13.3 Расстояние от точки до фигуры

Расстояние от точки до фигуры измеряется по кратчайшему пути. Поэтому расстоянием от данной точки А до фигуры F называется расстояние от этой точки до ближайшей к А точке фигуры F. Точка фигуры F, ближайшая к А, — это такая точка B ∈ F (рис. 113), что для всех точек X фигуры F |АВ|≤ |АХ|.

Рис. 113

Иначе говоря, если точка А не принадлежит фигуре F, то отрезок АВ — кратчайший из всех отрезков АХ, соединяющих точку А с точками фигуры F. (Если же A ∈ F, то ясно, что точка А оказывается ближайшей к самой себе. В дальнейшем случай, когда A ∈ F, мы не рассматриваем.)

Расстояние от точки А до фигуры F обозначаем | AF |.

Рассмотрим несколько простых примеров.

  1. Расстояние от точки А до прямой а равно длине перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую а. Обозначаем его | Аа |.
  2. Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость, или, что то же, расстоянию от точки до её проекции на плоскость.

    Эти два утверждения вытекают из того, что перпендикуляр короче наклонной.

  3. Расстояние от центра окружности до самой окружности равно радиусу. Все точки окружности находятся на одном расстоянии от центра, они все ближайшие к нему.

Понятие ближайшей точки даёт возможность получить интересное обобщение теоремы о трёх перпендикулярах.

Заменим в этой теореме прямую а на произвольную фигуру F в плоскости α (рис. 114).

Рис. 114

Пусть X — переменная точка фигуры F. Из равенства (1) делаем тот же вывод о наименьших расстояниях АХ и ВХ; они становятся наименьшими одновременно.

Получаем такое обобщение теоремы о трёх перпендикулярах:

Теорема (о ближайшей точке). Пусть фигура F лежит в плоскости α, А — некоторая точка, не принадлежащая α, и В — её проекция на α. Точка фигуры F будет ближайшей к точке А тогда и только тогда, когда она является ближайшей к её проекции В.

Замечание.

  1. Из теоремы о ближайшей точке следует такое утверждение: из данной точки А в ближайшую точку плоской фигуры F можно попасть так: сначала в ближайшую к А точку В самой плоскости, а потом из точки В в ближайшую к ней точку фигуры F.
  2. Теорема о трёх перпендикулярах оказалась, как мы видим, только частным случаем теоремы о ближайшей точке, относящейся к любой плоской фигуре. При этом доказательство её ничуть не сложнее. Это примечательно!

Один из моментов в развитии математики состоит в том, что результаты, которые прежде относились к более специальным фигурам, уравнениям, функциям или иным объектам математики, обобщаются позже на гораздо более общие объекты. Теорема о трёх перпендикулярах восходит к древним грекам (но доказывали они её по-другому), а теорема о ближайшей точке принадлежит геометрии XX в.

13.4 Площадь проекции многоугольника

Вам хорошо известно, что длина с отрезка АВ и длина с' его проекции А'В' на некоторую прямую р (или плоскость α) связаны равенством

с' = с cos φ, (2)

где φ — угол наклона прямой АВ к прямой р или к плоскости α (рис. 115). Если φ ≠ 0° или φ ≠ 90°, то равенство (2) выражает длину катета с' прямоугольного треугольника через длину с его гипотенузы и косинус прилежащего к катету острого угла φ.

Рис. 115

Теорема о трёх перпендикулярах позволяет доказать аналогичную формулу

S' = S cos φ (3)

для площади S некоторой фигуры F и площади S её проекции F' на некоторую плоскость α. Угол φ в равенстве (3) — это угол наклона плоскости β, в которой лежит фигура F, к плоскости α (рис. 116).

Рис. 116

Равенство (3) очевидно для случая, когда φ = 90° (в этом случае F' лежит на прямой и S' = 0, а также cos 90° = 0), и для случая, когда φ = 0° (в этом случае плоскости α и β параллельны или совпадают, фигура F' равна фигуре F и cos 0° = 1). Поэтому будем считать, что угол φ острый.

Равенство (3) сначала докажем для случая, когда фигура F — некоторый треугольник ABC. Прямую, по которой пересекаются плоскости α и β, обозначим через а. Если сторона АВ лежит на α, то высота С'Н треугольника ABC' является проекцией высоты СН треугольника ABC (по теореме о трёх перпендикулярах, рис. 117, а).

Рис. 117

Тогда С'Н = СН cos φ и S' = 0,5АВ • C'H = 0,5ABC • CH cos φ = S cos φ.

Для случая, когда АВ лежит на а, равенство (3) доказано.

Если сторона АВ параллельна прямой а, то проведём через прямую АВ плоскость γ, параллельную плоскости α, и сведём доказательство равенства (3) к уже рассмотренному случаю (рис. 117, б).

Пусть у треугольника ABC нет сторон, параллельных прямой а (или лежащих на α). Тогда через одну из его вершин (например, через вершину А) проходит прямая р, параллельная прямой а, которая разбивает треугольник ABC на два треугольника АВР и АСР, у которых уже есть такая сторона АР (рис. 118). Тогда

Рис. 118

Равенство (3) доказано для любых треугольников.

Если фигура F — многоугольник, то, разбивая её на треугольники, доказываем равенство (3) аналогично тому, как это было доказано в цепочке равенств (4) (рис. 119).

Рис. 119

Наконец, для произвольных фигур F равенство (3) можно доказать, приближая их многоугольными фигурами. Например, площадь S' фигуры, ограниченной эллипсом, который получен проектированием окружности радиуса а, вычисляется по формуле S' = πab у где b — длина проекции радиуса окружности, перпендикулярного прямой пересечения плоскости окружности и плоскости проекции.

Вопросы для самоконтроля

  1. Как получить ортогональную проекцию:
    • а) точки;
    • б) фигуры?
  2. Какая фигура является ортогональной проекцией:
    • а) отрезка;
    • б) окружности?
  3. Как найти расстояния от точки до:
    • а) прямой;
    • б) плоскости?
  4. Сформулируйте теорему о трёх перпендикулярах. Какие два утверждения она содержит?
  5. Как можно найти расстояние от точки до плоской фигуры? Приведите реальные примеры, иллюстрирующие теорему о ближайшей точке.
  6. Фигура F лежит в плоскости а, точка А не лежит в этой плоскости, точка В фигуры F является ближайшей к точке А. Следует ли отсюда, что прямая АВ перпендикулярна плоскости α?

Рейтинг@Mail.ru