Геометрия
10-11 классы

Задачи к § 12

  • 12.1. Докажите следующие признаки параллельности прямой и плоскости (при условии, что прямая не лежит в этой плоскости). Прямая и плоскость параллельны, если:
    • а) существует плоскость, параллельная данным прямой и плоскости;
    • б) существует прямая, параллельная данным прямой и плоскости;
    • в) существует прямая, перпендикулярная данным прямой и плоскости;
    • г) существует плоскость, перпендикулярная данным прямой и плоскости.
  • 12.2. Докажите, что параллельны:
    • а) противоположные грани параллелепипеда;
    • б) основания призмы.

Задачи к п. 12.1

  • 12.3. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Точки К, L, М, N — середины рёбер B1C1, C1D1, ВС, А1В1 соответственно. Будет ли прямая АА1 параллельна плоскости:
    • а) ВСС1;
    • б) BDD1;
    • в) BDC1;
    • г) KLM;
    • д) CKN;
    • е) LMN;
    • ж) B1DL?
  • 12.4. Через точку К внутри ребра Р тетраэдра РАВС проведите отрезок, параллельный (ABC), в грани:
    • а) РАВ;
    • б) РАС.

    Нарисуйте фигуру, которую заполнят в тетраэдре все такие отрезки. А если проводить через точку К отрезки, параллельные {РВС)?

  • 12.5. В тетраэдре РАВС через точку К, лежащую внутри ребра АВ, проведено сечение, параллельное прямой АС. Есть ли ошибки на рисунке 108, а, б?

    Рис. 108

  • 12.6.
    • а) Через точку О — центр грани ABC правильного тетраэдра РАВС проводятся всевозможные прямые, параллельные плоскости РАС. Какой из отрезков этих прямых, лежащих в тетраэдре, имеет наибольшую длину? наименьшую длину?
    • б) Составьте и решите задачу, аналогичную задаче, данной в п. а), для правильной четырёхугольной пирамиды, у которой все рёбра равны.
  • 12.7. Нарисуйте параллелепипед. Нарисуйте его сечение плоскостью, проходящей через одно из его рёбер. Укажите рёбра параллелепипеда, параллельные этому сечению. Установите вид этого сечения. Установите вид такого сечения в прямоугольном параллелепипеде. Может ли одно из таких сечений быть квадратом?
  • 12.8. Дана правильная четырёхугольная пирамида,
    • а) Нарисуйте её сечение, содержащее ребро основания. Докажите, что оно параллельно другому ребру основания. Установите вид этого сечения.
    • б) Нарисуйте сечение пирамиды плоскостью, содержащей диагональ основания и параллельной боковому ребру. Установите вид этого сечения.
    • в) Нарисуйте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину и параллельной ребру основания. Какое из таких сечений имеет наибольшую и наименьшую площадь?

Задачи к п. 11.2

  • 12.9. Два параллелограмма ABCD и ABC1D1 не лежат в одной плоскости. Докажите, что плоскости ВСС1 и ADD1 параллельны.
  • 12.10. Из точки Р выходят три луча: РА, РВ, PC. На них взяты точки A1, B1, C1, причём РA1 = 1/2 РА, РБ1 = 1/2 РВ, PC1 = 1/2 PC. Докажите, что (ABC) || (А1В1С1). Как можно обобщить эту задачу? Составьте аналогичную задачу, взяв точки А1, В1 и С1 на продолжениях лучей РА, РВ, PC.
  • 12.11. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1.
    • а) Докажите, что плоскости A1BD и B1D1C параллельны,
    • б) Укажите аналогичные пары параллельных сечений параллелепипеда.
  • 12.12. Две стороны треугольника параллельны плоскости α. Докажите, что и третья его сторона параллельна плоскости α.


Рейтинг@Mail.ru