|
|
Учебник для 10-11 классов ГЕОМЕТРИЯ§ 12. Параллельность прямой и плоскости12.1 Признак параллельности прямой и плоскости Напомним, что прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. Говорят также, что плоскость параллельна прямой или что прямая параллельна плоскости. Для параллельности прямой а и плоскости α применяется обозначение а || α или α || а.
Существование прямых, параллельных плоскости, очевидно, так как любая прямая, лежащая в одной из двух параллельных плоскостей, не имеет общих точек с другой плоскостью и потому ей параллельна (см. рис. 100). Так что через одну точку, не лежащую в данной плоскости, проходит бесконечно много прямых, параллельных этой плоскости. Часто параллельность прямой и плоскости устанавливают с помощью следующей теоремы — признака параллельности прямой и плоскости:
Доказательство. Пусть прямая а параллельна прямой b, лежащей в плоскости α, но не лежит в этой плоскости (рис. 105). Прямая а не может пересекать плоскость α, так как в этом случае прямые а и b скрещивались бы (по признаку скрещивающихся прямых), а это противоречит условию теоремы. Поэтому а || α.
Рис. 105 Поищите другие доказательства этой простой теоремы. В ней делается вывод о параллельности прямой и плоскости, исходя из параллельности прямых. В следующей лемме, наоборот, делается вывод о параллельности прямых, исходя из параллельности прямой и плоскости.
Доказательство. Пусть прямая а лежит в плоскости α и параллельна плоскости β и плоскости α и β пересекаются по прямой с (рис. 106). Тогда прямая α параллельна прямой с.
Рис. 106 Действительно, во-первых, прямая а лежит с прямой с в одной плоскости α. Во-вторых, прямая а не может пересекать прямую с, так как в противном случае прямая а пересекала бы плоскость β, что невозможно. Следовательно, а || с. Эта лемма ещё один признак параллельности прямых. 12.2 Признак параллельности плоскостей Параллельность прямых и параллельность плоскостей связывает следующий признак параллельности плоскостей:
Доказательство. Пусть даны две плоскости α и β. В плоскости α лежат прямые а и b, пересекающиеся в точке О, а в плоскости β лежат прямые а1 и b1 (рис. 107). Пусть, кроме того, а1 || а и Ь1 || b. Прямые а и b параллельны плоскости β (по признаку параллельности прямой и плоскости).
Рис. 107 Допустим, что плоскости α и β пересекаются по прямой с. Тогда прямая а параллельна прямой с (по лемме п. 12.1). Аналогично b || с. Итак, если допустим, что плоскости α и β пересекаются, то получаем, что через точку О проходят две прямые а и b, параллельные прямой с. А это невозможно. Поэтому плоскости α и β не пересекаются, т. е. α || β.
Вопросы для самоконтроля
|
|
|