Геометрия
10-11 классы

§ 12. Параллельность прямой и плоскости

12.1 Признак параллельности прямой и плоскости

Напомним, что прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. Говорят также, что плоскость параллельна прямой или что прямая параллельна плоскости. Для параллельности прямой а и плоскости α применяется обозначение а || α или α || а.

Существование прямых, параллельных плоскости, очевидно, так как любая прямая, лежащая в одной из двух параллельных плоскостей, не имеет общих точек с другой плоскостью и потому ей параллельна (см. рис. 100). Так что через одну точку, не лежащую в данной плоскости, проходит бесконечно много прямых, параллельных этой плоскости.

Часто параллельность прямой и плоскости устанавливают с помощью следующей теоремы — признака параллельности прямой и плоскости:

Теорема 14. Если прямая параллельна некоторой прямой, лежащей в данной плоскости, но сама не содержится в данной плоскости, то она параллельна этой плоскости.

Доказательство. Пусть прямая а параллельна прямой b, лежащей в плоскости α, но не лежит в этой плоскости (рис. 105). Прямая а не может пересекать плоскость α, так как в этом случае прямые а и b скрещивались бы (по признаку скрещивающихся прямых), а это противоречит условию теоремы. Поэтому а || α.

Рис. 105

Поищите другие доказательства этой простой теоремы. В ней делается вывод о параллельности прямой и плоскости, исходя из параллельности прямых. В следующей лемме, наоборот, делается вывод о параллельности прямых, исходя из параллельности прямой и плоскости.

Лемма (о параллельности прямых). Пусть плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость. Тогда данная прямая параллельна прямой, по которой пересекаются данные плоскости.

Доказательство. Пусть прямая а лежит в плоскости α и параллельна плоскости β и плоскости α и β пересекаются по прямой с (рис. 106). Тогда прямая α параллельна прямой с.

Рис. 106

Действительно, во-первых, прямая а лежит с прямой с в одной плоскости α. Во-вторых, прямая а не может пересекать прямую с, так как в противном случае прямая а пересекала бы плоскость β, что невозможно. Следовательно, а || с.

Эта лемма ещё один признак параллельности прямых.

12.2 Признак параллельности плоскостей

Параллельность прямых и параллельность плоскостей связывает следующий признак параллельности плоскостей:

Теорема 15. Если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Доказательство. Пусть даны две плоскости α и β. В плоскости α лежат прямые а и b, пересекающиеся в точке О, а в плоскости β лежат прямые а1 и b1 (рис. 107). Пусть, кроме того, а1 || а и Ь1 || b. Прямые а и b параллельны плоскости β (по признаку параллельности прямой и плоскости).

Рис. 107

Допустим, что плоскости α и β пересекаются по прямой с. Тогда прямая а параллельна прямой с (по лемме п. 12.1). Аналогично b || с. Итак, если допустим, что плоскости α и β пересекаются, то получаем, что через точку О проходят две прямые а и b, параллельные прямой с. А это невозможно. Поэтому плоскости α и β не пересекаются, т. е. α || β.

Вопросы для самоконтроля

  1. Какие вы знаете признаки параллельности:
    • а) прямой и плоскости;
    • б) двух плоскостей;
    • в) двух прямых?
  2. Прямая а параллельна плоскости α, а прямая b лежит в α. В каком взаимном расположении могут находиться а и b?
  3. Даны плоскость α и не лежащая на ней точка А. Сколько можно провести прямых, проходящих через А и параллельных а? Какую фигуру заполняют эти прямые?
  4. Прямые а и Ь параллельны. Сколько можно провести плоскостей, проходящих через b и параллельных а? Какую фигуру они заполняют?
  5. Прямые а и b скрещиваются. Сколько можно провести плоскостей, проходящих через прямую а и параллельных прямой b?
  6. Две жерди уложены горизонтально. Всегда ли плоское покрытие, уложенное на них, также горизонтально?


Рейтинг@Mail.ru