Геометрия
10-11 классы

Задачи к § 11

  • 11.1. Докажите, что параллельны плоскости:
    • а) противоположных граней прямоугольного параллелепипеда;
    • б) оснований прямой призмы.

Задачи к п. 11.1

  • 11.2.
    • а) Два прямоугольника ABCD и DCFE не лежат в одной плоскости. Объясните, почему плоскости ADE и BCF параллельны,
    • б) Два прямоугольника, не лежащие в одной плоскости, имеют общую среднюю линию. Докажите, что их пересекающиеся стороны лежат в параллельных плоскостях.
  • 11.3. Имеется деревянный брус прямоугольного сечения. Как получить два параллельных его распила?
  • 11.4. Объясните, почему часовая и минутная стрелки часов движутся в параллельных плоскостях.
  • 11.5.
    • а) Бетонная плита в форме прямоугольного параллелепипеда удерживается краном на четырёх тросах равной длины. Как закрепить тросы на плите, чтобы она была в горизонтальном положении?
    • б) Как за крюк на потолке с помощью трёх верёвок подвесить кольцо так, чтобы плоскость его была горизонтальна?

Задачи к п. 11.2

  • 11.6. Исследуем Будут ли две плоскости параллельны, если:
    • а) они пересекают третью по параллельным прямым;
    • б) они проходят через две параллельные прямые;
    • в) каждая плоскость, пересекающая одну из них, пересекает и другую?
  • 11.7.
    • а) Глядя на рисунок 104, а, скажите, как расположены плоскости β и γ.
    • б) Глядя на рисунок 104, б, скажите, как расположены прямые а и b, если известно, что плоскости α и β параллельны.

Рис. 104

  • 11.8. Пусть ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед, точка Р— центр симметрии грани A1B1C1D1. Нарисуйте его сечение плоскостью, проходящей через Р и перпендикулярно:
    • а) (А1В1);
    • б) (AD).

Задачи к п. 11.3

  • 11.9. Дана правильная пирамида РАВС. Точка О — центр её основания.
    1. Нарисуйте сечение пирамиды плоскостью, параллельной плоскости ABC и проходящей через:
      • а) точку Т на ребре РБ;
      • б) точку М внутри медианы PL грани РАС;
      • в) точку К внутри отрезка РО.
    2. Докажите, что каждое такое сечение (см. случаи а) — в) из п. 1) будет равносторонним треугольником.
    3. Какую часть составляет площадь сечения (см. случаи а) — в) из п. 1) от площади треугольника ABC, когда оно проходит через середину данного отрезка?
  • 11.10.
    • а) Решите предыдущую задачу для правильной четырёхугольной пирамиды.
    • б) Какие предположения вы можете сделать для правильной n-угольной пирамиды?
  • 11.11.
    1. Нарисуйте сечение прямоугольного параллелепипеда ABСDA1B1С1D1 плоскостью, проходящей параллельно плоскости ABC через точку внутри отрезка:
      • а) АА1;
      • б) CD1;
      • в) B1D.
    2. Докажите, что это сечение в каждом случае (см. а) — в) из п. 1) будет прямоугольником.
  • 11.12. Составьте и решите предыдущую задачу для правильной призмы.
  • 11.13. Ученик сказал: «Если две плоскости перпендикулярны третьей и проходят через параллельные прямые, то они параллельны». А учитель опроверг это утверждение. Как?


Рейтинг@Mail.ru