Геометрия
10-11 классы

       

Задачи к § 10

  • 10.1. Постройте плоскость, которая перпендикулярна данной плоскости и проходит через данную:
    • а) точку;
    • б) пересекающую её прямую.
  • 10.2. Какие пары взаимно перпендикулярных плоскостей можно указать в:
    • а) кубе;
    • б) прямоугольном параллелепипеде;
    • в) прямоугольном тетраэдре, т. е. в тетраэдре, три ребра которого, идущие из одной вершины, взаимно перпендикулярны;
    • г) правильной четырёхугольной пирамиде (плоскости определяются вершинами этих многогранников)?
  • 10.3. Через середины сторон правильного многоугольника проведены плоскости, перпендикулярные этим сторонам. Докажите, что эти плоскости имеют общую прямую, которая перпендикулярна плоскости многоугольника.

Задачи к п. 10.1

  • 10.4.
    • а) Какой из занумерованных углов на рисунке 96 в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 вы можете записать как линейный угол двугранного угла между гранями этого параллелепипеда и его диагональными плоскостями?

    Рис. 96

    • б) На рисунке 97 изображён правильный тетраэдр РАВС. Точки K1 К2, К3 — середины его рёбер.

    Рис. 97

    Точка О —центр основания. Какой из занумерованных углов вы можете записать как линейный угол двугранного угла между гранями тетраэдра и плоскостями его сечений?

  • 10.5. На рисунке 98 изображена пирамида PABCD, все рёбра которой равны. Точки K1, К2, К3, К4, К5 — середины рёбер пирамиды, точка О —центр её основания. Укажите, линейным углом какого двугранного угла является каждый из занумерованных углов.
  • 10.6. Дан правильный тетраэдр РАВС. Нарисуйте линейные углы двугранных углов при:
    • а) АС;
    • б) АР.
  • 10.7. В пирамиде PABCD все рёбра равны. Нарисуйте линейные углы двугранных углов:
    • а) при ребре AD;
    • б) при ребре PD;
    • в) образованных гранями PAD и РВС.
  • 10.8. Дана прямая треугольная призма. Как вычислить углы между её боковыми гранями? Сделайте обобщение для n-угольной прямой призмы.
  • 10.9. Две боковые грани прямой треугольной призмы перпендикулярны, а третья составляет с одной из них угол φ.
    • а) Какой угол она составляет с другой гранью?
    • б) Пусть наибольшее ребро основания этой призмы равно 1. Чему равны остальные рёбра основания?
  • 10.10. Плоскости α, β, γ пересекаются по трём параллельным прямым. Плоскость α образует с α и γ угол φ. Найдите угол между α и γ.
  • 10.11. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Вычислите угол φ, образованный плоскостями:
    • а) АВ1С1 и АВС;
    • б) BB1D1 и АА1С;
    • в) DA1C1 и BA1C1.
  • 10.12. Дан правильный тетраэдр. Вычислите угол φ, образованный:
    • а) его гранями;
    • б) плоскостями, проходящими через боковое ребро и высоту тетраэдра.
  • 10.13. В треугольной пирамиде РАВС ребро РВ перпендикулярно (ABC). Треугольник ABC равносторонний. Как вы будете искать угол между плоскостями:
    • а) РАВ и РВС;
    • б) РАС и ВАС;
    • в) РАС и РВС?
  • 10.14. Дана четырёхугольная пирамида PABCD, в основании которой квадрат, и ребро РВ перпендикулярно основанию. Как вы будете искать угол между плоскостями:
    • a) PAD и АВС;
    • б) PCD и АВС;
    • в) PAD и PCD;
    • г) PAD и РСВ?
  • 10.15. Укажите все пары перпендикулярных плоскостей на рисунке 83. Если таковых не окажется, то при каких дополнительных условиях они появятся?
  • 10.16. Треугольники АВС и ABD прямоугольные (∠B = 90°) и лежат в перпендикулярных плоскостях. Докажите, что:
    • a) (ABC) ⊥ (BCD)',
    • б) (ABD) ⊥ (BCD)]
    • в) плоскость ACD не перпендикулярна плоскостям этих треугольников.
  • 10.17. Треугольники АВС и ABD равносторонние и лежат в перпендикулярных плоскостях,
    • а) Докажите, что плоскость CDK перпендикулярна плоскости каждого из них, если точка К — середина стороны АВ.
    • б) Докажите, что другой такой же плоскости, как (CDK) (см. случай «а»), через прямую CD не провести,
    • в) Будут ли перпендикулярны плоскости ACD и BCD? Изменятся ли результаты, если вместо равносторонних треугольников взять равные равнобедренные треугольники с основанием АВ?

Задачи к п. 10.2

  • 10.18. Два квадрата ABCD и АВС1D1 лежат во взаимно перпендикулярных плоскостях. Докажите, что:
    • a) AD ⊥ (АВС1);
    • б) ВС1 ⊥ (ADC);
    • в) АС не перпендикулярен плоскости ABD1,
    • г) отметьте точку на CD и нарисуйте из неё перпендикуляр на плоскость АВС1;
    • д) отметьте точку на BD1 и нарисуйте из неё перпендикуляр на (ABC).
  • 10.19. Два равносторонних треугольника AВС и ABD лежат в перпендикулярных плоскостях,
    • а) Нарисуйте перпендикуляр из точки D на плоскость AВС;
    • б) отметьте точку L на АС и нарисуйте перпендикуляр из L на плоскость ABD]
    • в) нарисуйте перпендикуляр, проходящий через точку В к плоскости AВС;
    • г) какие точки этих треугольников наиболее удалены друг от друга?
  • 10.20. Основанием четырёхугольной пирамиды является равнобедренная трапеция и две боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания трапеции. Нарисуйте высоту пирамиды. Рассмотрите два случая:
    1. перпендикулярны основанию соседние грани и
    2. перпендикулярны основанию противоположные грани. Как, зная длины рёбер, вычислить высоту пирамиды?

Задачи к п. 10.3

  • 10.21. Два квадрата ABCD и ABKL лежат в перпендикулярных плоскостях.
    1. Докажите, что:
      • а) плоскость ADL перпендикулярна плоскости каждого квадрата;
      • б) плоскость ВСК перпендикулярна плоскости каждого квадрата;
      • в) (ADK) ⊥ (ABK);
      • г) (АСL) ⊥ (АВС);
      • д) (KLD) ⊥ [ADL);
      • е) (ADK) ⊥ (BCL).
    2. Будут ли перпендикулярны плоскости BDK и ACL?
    3. Какой угол образуют с плоскостями квадратов плоскости:
      • a) CDL;
      • б) KLM, где М — середина CD;
      • в) АСК?
    4. Какой угол образуют плоскости АСК и BDL?
  • 10.22. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Нарисуйте его сечение плоскостью, которая:
    • а) проходит через точку А и перпендикулярна плоскости ABC;
    • б) проходит через точку А и перпендикулярна плоскости BB1D;
    • в) проходит через точку А и перпендикулярна плоскости BA1D;
    • г) проходит через прямую АС1 и перпендикулярна плоскости A1B1D1;
    • д) проходит через прямую AD1 и перпендикулярна плоскости BDD1.
  • 10.23. Дана правильная четырёхугольная пирамида PABCD. Нарисуйте её сечение плоскостью, проходящей через:
    • а) вершину Р и перпендикулярной основанию;
    • б) ребро РА и перпендикулярной плоскости PBD;
    • в) высоту пирамиды PQ и перпендикулярной плоскости CPD.
  • 10.24. В четырёхугольной пирамиде основанием является прямоугольник. Две соседние боковые её грани перпендикулярны основанию. Укажите все пары перпендикулярных граней этой пирамиды.

Рейтинг@Mail.ru