Геометрия
10-11 классы

§ 10. Угол между плоскостями. Перпендикулярность плоскостей

10.1 Двугранный угол. Угол между плоскостями

Две пересекающиеся прямые образуют две пары вертикальных углов. Подобно тому как две пересекающиеся прямые на плоскости образуют пару вертикальных углов (рис. 89, а), так две пересекающиеся плоскости в пространстве образуют две пары вертикальных двугранных углов (рис. 89, б).

Рис. 89

Двугранным углом называют фигуру, которая состоит из двух полуплоскостей, имеющих общую граничную прямую и не лежащих в одной плоскости (рис. 90). Сами полуплоскости называют гранями двугранного угла, а их общую граничную прямую — его ребром.

Рис. 90

Измеряют двугранные углы следующим образом.

Возьмём на ребре р двугранного угла с гранями α и β точку О. Проведём из точки О в его гранях лучи а и Ь, перпендикулярные ребру р: а — в грани α и b — в грани β (рис. 91, а).

Рис. 91

Угол со сторонами а, b называется линейным углом двугранного угла.

Величина линейного угла не зависит от выбора его вершины на ребре двугранного угла.

Действительно, возьмём другую точку О1 ребра р и проведём в гранях α и β лучи а1 ⊥ р и b1 ⊥ р (рис. 91, б).

Отложим на луче а отрезок ОА, на луче а1 отрезок O1A1, равный отрезку ОА, на луче b отрезок ОВ и на луче b1 отрезок О1В1, равный отрезку ОВ (рис. 91, в).

В прямоугольниках ОАА1О1 и 0ВВ101 стороны АА1 и ВВ1 равны их общей стороне ОО1 и параллельны ей. Поэтому АА1 = ВВ1 и АА1 || ВВ1.

Следовательно, четырёхугольник АВВ1А1 — параллелограмм (рис. 91, г), а значит, АВ = А1В1. Поэтому треугольники АВО и А1В1O1 равны (по трём сторонам) и угол ab равен углу a1b1.

Теперь можно дать такое определение: величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.

Углом между пересекающимися плоскостями называется величина меньшего из образованных ими двугранных углов. Если этот угол равен 90°, то плоскости называются взаимно перпендикулярными. Угол между параллельными плоскостями полагается равным 0°.

Угол между плоскостями α и β, как и величина двугранного угла с гранями α и β, обозначается ∠αβ.

Угол между гранями многогранника, имеющими общее ребро, — это величина соответствующего этим граням двугранного угла.

10.2 Свойства взаимно перпендикулярных плоскостей

Свойство 1. Прямая, лежащая в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная их общей прямой, перпендикулярна другой плоскости.

Доказательство. Пусть плоскости α и β взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой с. Пусть прямая а лежит в плоскости α и a ⊥ с (рис. 92). Прямая а пересекает с в некоторой точке О. Проведём в плоскости β через точку О прямую Ь, перпендикулярную прямой с. Так как α ⊥ β, то a ⊥ b. Так как a ⊥ b и a ⊥ с, то α ⊥ β по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Рис. 92

Второе свойство является утверждением, обратным первому свойству.

Свойство 2. Прямая, имеющая общую точку с одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная другой плоскости, лежит в первой из них.

Доказательство. Пусть плоскости α и β взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой с, прямая a ⊥ β и а имеет с а общую точку А (рис. 93). Через точку А проведём в плоскости α прямую р, перпендикулярную прямой с. Согласно свойству 1 р ⊥ β. Прямые а и р проходят через точку А и перпендикулярны плоскости β. Поэтому они совпадают, так как через точку проходит лишь одна прямая, перпендикулярная некоторой плоскости. Поскольку прямая р лежит в плоскости α, то и прямая а лежит в плоскости α.

Рис. 93

Следствием свойства 2 является такой признак перпендикулярности прямой и плоскости: если две плоскости, перпендикулярные третьей плоскости, пересекаются, то прямая их пересечения перпендикулярна третьей плоскости.

Доказательство. Пусть две плоскости α и β, пересекающиеся по прямой а, перпендикулярны плоскости γ (рис. 94). Тогда через любую точку прямой а проведём прямую, перпендикулярную плоскости γ. Согласно свойству 2 эта прямая лежит и в плоскости α, и в плоскости β, т. е. совпадает с прямой а. Итак, а ⊥ γ.

Рис. 94

10.3 Признак перпендикулярности плоскостей

Начнём с практических примеров. Плоскость двери, навешенной на перпендикулярный полу косяк, перпендикулярна плоскости пола при любых положениях двери (рис. 95). Когда хотят проверить, вертикально ли установлена плоская поверхность (стена, забор и т. п.), то это делают с помощью отвеса — верёвки с грузом. Отвес всегда направлен вертикально, и стена стоит вертикально, если отвес, располагаясь вдоль неё, не отклоняется. Эти примеры подсказывают нам следующий простой признак перпендикулярности плоскостей: если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости взаимно перпендикулярны.

Рис. 95

Доказательство. Пусть плоскость α содержит прямую а, перпендикулярную плоскости β (см. рис. 92). Тогда прямая а пересекает плоскость β в некоторой точке О. Точка О лежит на прямой с, по которой пересекаются плоскости α и β. Проведём в плоскости β через точку О прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как a ⊥ β, то a ⊥ b и a ⊥ с. Это означает, что линейные углы двугранных углов, образованных пересекающимися плоскостями α и β, — прямые. Поэтому плоскости α и β взаимно перпендикулярны.

Отметим, что каждые две из трёх прямых а, b и с, рассмотренных сейчас (см. рис. 92), взаимно перпендикулярны. Если же построить ещё одну прямую, проходящую через точку О и перпендикулярную двум из этих трёх прямых, то она совпадёт с третьей прямой. Этот факт говорит о трёхмерности окружающего нас пространства: четвёртой прямой, перпендикулярной каждой из прямых а, b и с, нет.

Вопросы для самоконтроля

  1. Как вычисляют величину двугранного угла?
  2. Как вычислить угол между плоскостями?
  3. Какие плоскости называются взаимно перпендикулярными?
  4. Какие свойства взаимно перпендикулярных плоскостей вы знаете?
  5. Какой признак перпендикулярности плоскостей вы знаете?


Рейтинг@Mail.ru