Геометрия
10-11 классы

       

§ 9. Основные теоремы о взаимно перпендикулярных прямой и плоскости

9.1 Теорема о прямой, перпендикулярной плоскости

Теорема о параллели к перпендикуляру позволяет доказать основную теорему о прямой, перпендикулярной плоскости.

Теорема 10. Через каждую точку проходит прямая, перпендикулярная данной плоскости, и притом только одна.

Доказательство. Пусть даны точка А и плоскость α (рис. 87, а). Можно считать, что А не лежит в плоскости α, так как случай, когда А ∈ α, рассмотрен в задаче п. 7.3. Проведём через какую-либо точку плоскости α прямую а ⊥ α (задача п. 7.3).

Если а проходит через А, то она искомая прямая. Если это не так, то проведём через А прямую b||а. По теореме о параллели к перпендикуляру b ⊥ α. Итак, мы построили прямую, проходящую через точку А и перпендикулярную α.

Рис. 87

Докажем, что такая прямая единственная. Допустим, что через точку А проходят две прямые р и q, перпендикулярные α. Проведём через них плоскость β (рис. 87, б). Эта плоскость пересекает плоскость α по некоторой прямой с. Так как р ⊥ α и q ⊥ α, то прямые р и q перпендикулярны прямой с. Получилось, что через точку А в плоскости β проходят две прямые р и q, перпендикулярные с. Из планиметрии известно, что это невозможно. Значит, через точку А проходит лишь одна прямая, перпендикулярная плоскости α.

9.2. Теорема о плоскости, перпендикулярной прямой

Изучение перпендикулярности прямой и плоскости мы завершим следующей теоремой:

Теорема 11. Через каждую точку проходит плоскость, перпендикулярная данной прямой, и притом только одна.

Доказательство. Пусть заданы прямая а и точка А. Возможны два случая:

  • Точка А лежит на прямой а (рис. 88, а). Этот случай уже рассматривали в п. 6.2. Напомним, что плоскостью, проходящей через точку А и перпендикулярной прямой а, является плоскость перпендикуляров к прямой а в точке А. Такая плоскость единственна.
  • Точка А не лежит на прямой а (рис. 88, б). В этом случае проведём через точку А прямую Ъ, которая пересекает прямую а в некоторой точке Б и перпендикулярна прямой а. Через точку В проведём плоскость а, перпендикулярную прямой а. Она является плоскостью перпендикуляров к а в точке В> а потому содержит прямую Ь. Но тогда а проходит через точку А. Итак, мы построили плоскость α, проходящую через точку А и перпендикулярную прямой а. Такая плоскость единственна (докажите это сами).

Рис. 88

Вопросы для самоконтроля

  1. Существование каких объектов доказано в этом параграфе?
  2. Через точку А проведены плоскость α, перпендикулярная прямой а, и прямая Ь, перпендикулярная той же прямой. Как расположены прямая b и плоскость α?

Рейтинг@Mail.ru