Геометрия
10-11 классы

       

§ 8. Связь между параллельностью прямых и перпендикулярностью прямой и плоскости

Мы постоянно видим, что перпендикуляры к одной и той же плоскости параллельны. Например, вертикальные отрезки параллельны между собой. Эти отрезки могут представляться параллельно стоящими столбами или мачтами, стволами стройных сосен в корабельном лесу, колоннами зданий музея (рис. 84) или вертикальными опорами моста и т. д.

Рис. 84

Эта изящная геометрия выражается в теореме, которую мы сейчас докажем.

8.1 Параллельность прямых, перпендикулярных одной плоскости

Теорема 8 (о параллельности перпендикуляров). Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

Доказательство. Пусть две прямые а и b перпендикулярны плоскости а и пересекают её соответственно в точках А и В (рис. 85). Проведём через прямую а и точку В плоскость р и покажем, что прямая b также лежит в плоскости β.

Рис. 85

В плоскости а возьмём отрезок MN, перпендикулярный отрезку АВ и имеющий точку А своей серединой. Так как AM = AN и АВ ⊥ MN, то ВМ = BN.

Возьмём на прямой b любую точку С ≠ В и проведём отрезки СA, CM, CN. Поскольку b ⊥ a, то треугольники СВМ и CBN прямоугольные. Они равны, так как имеют общий катет СВ и равные катеты ВМ и BN. Поэтому CM = CN, т. е. треугольник CMN равнобедренный. Его медиана СА является также его высотой, т. е. СA ⊥ MN.

Итак, три прямые, проходящие через точку А, — АС, АВ и а — перпендикулярны прямой MN. По теореме о плоскости перпендикуляров (п. 7.2) они лежат в одной плоскости — плоскости β, которая проходит через прямые АВ и а.

Поскольку прямая АС лежит в плоскости β, то точка С ∈ β. Значит, прямая b лежит в плоскости β (как и прямая а). Но в плоскости β прямые а и b перпендикулярны одной и той же прямой АВ (так как a ⊥ α, то b ⊥ α и прямая АВ лежит в α). Поэтому b||а.

Доказанная теорема является признаком параллельности прямых в пространстве.

8.2 Параллель к перпендикуляру

В этом пункте мы докажем теорему, обратную теореме о параллельности перпендикуляров.

Теорема 9 (о параллели к перпендикуляру). Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.

Доказательство. Пусть две прямые а и b параллельны и а перпендикулярна плоскости а (рис. 86). Прямая b пересекает плоскость α в некоторой точке В (по лемме пункта 3.3). Имеются две возможности:

  1. b ⊥ α;
  2. b не перпендикулярна α.

Рис. 86

Предположим, что выполняется вторая. Тогда проведём через точку В прямую с ⊥ α (задача п. 7.3). По теореме о параллельности перпендикуляров с||α. Получилось, что через точку В проходят две прямые, параллельные прямой а, что невозможно.

Итак, b ⊥ α.

Теорема о параллели к перпендикуляру является ещё одним признаком перпендикулярности прямой и плоскости.

Вопросы для самоконтроля

  1. Какие признаки параллельности прямых вы узнали?
  2. Какие признаки перпендикулярности прямой и плоскости вам известны теперь?

Рейтинг@Mail.ru