Геометрия
10-11 классы

Задачи к § 7

  • 7.1.
    • а) Докажите, что боковое ребро правильной призмы перпендикулярно её основаниям,
    • б) Докажите, что диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
  • 7.2. Дополняем теорию! В правильной пирамиде:
    • а) четырёхугольной;
    • б) треугольной — соедините отрезком вершину с центром основания.

    Докажите, что этот отрезок является высотой пирамиды. Как вычислить его длину, если известны рёбра пирамиды? Запишите формулу для вычисления этой высоты через длины рёбер.

  • 7.3. Какую фигуру в пространстве образуют все точки, равноудалённые от двух данных точек?

Задачи к п. 7.1

  • 7.4. Укажите взаимно перпендикулярные прямую и плоскость на рисунке 83.

Рис. 83

  • 7.5.
    • а) Два равнобедренных треугольника имеют общее основание и не лежат в одной плоскости. Докажите, что их общее основание перпендикулярно плоскости, проходящей через оси симметрии треугольников,
    • б) Пусть РАВС — правильная треугольная пирамида, точка D — середина ребра АС, точка О —центр основания ABC. Докажите, что AC ⊥ (PDQ). Обобщите это утверждение.

Задачи к пп. 7.2, 7.3

  • 7.6. Нарисуйте правильную треугольную призму ABCA1B1C1.
    • а) Нарисуйте её сечение плоскостью, проходящей через точку на ребре АА1 и перпендикулярной этому ребру,
    • б) Докажите, что это сечение равно основанию призмы,
    • в) Нарисуйте её сечение плоскостью, проходящей через середину ребра АС и перпендикулярной ребру АС.
  • 7.7. Пусть РАВС — правильный тетраэдр. Нарисуйте его сечение плоскостью:
    • а) проходящей через середину ребра АС и перпендикулярной ребру АС;
    • б) проходящей через другую точку ребра АС и перпендикулярной ребру АС.
  • 7.8. Нарисуйте на поверхности правильного тетраэдра РАВС фигуру, каждая точка которой равноудалена от А и В.
  • 7.9. В тетраэдре РАВС ребро PB ⊥ (ABC) и РВ = АВ = ВС = СА. Нарисуйте на его поверхности фигуру, каждая точка которой равноудалена от:
    • а) А и С;
    • б) В и С;
    • в) Р и В.
  • 7.10. Через точку О ∈ а проведена прямая а ⊥ α. Точки А и В лежат на а, а точка Х ∈ α. Докажите, что:
    • а) ХА = ХВ, если OA = OB;
    • б) ХА > ХВ, если ОА > ОВ.
  • 7.11.
    • а) Точка О —центр окружности на плоскости α. Из О провели перпендикуляр ОА к α. Докажите, что все точки окружности удалены от А на одно и то же расстояние,
    • б) Пусть ОА — перпендикуляр, выходящий из точки О ∈ α. На какой линии лежат все точки а, одинаково удалённые от А?
  • 7.12. Можно ли через данную точку провести четыре попарно перпендикулярные прямые?


Рейтинг@Mail.ru