Геометрия
10-11 классы

§ 7. Признак перпендикулярности прямой и плоскости

7.1 Основной признак перпендикулярности прямой и плоскости

Теорема 6. Прямая, перпендикулярная двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, перпендикулярна этой плоскости.

Пояснение. Понятно значение этой теоремы: достаточно установить (или обеспечить) перпендикулярность прямой только двум пересекающимся прямым в данной плоскости, как она будет перпендикулярна ко всем пересекающим её прямым, лежащим в этой плоскости.

Вот пример: раскройте книгу и поставьте её на стол (рис. 79, а). Корешок книги перпендикулярен краям обложки, лежащим на столе, и тем самым самому столу. Ещё пример. Устанавливая вертикально мачту, достаточно сделать так, чтобы она была перпендикулярна двум прямым, проведённым через её основание на палубе или на земле. А это можно сделать, натянув из одной точки мачты две пары растяжек равной длины и закрепив их на одинаковых расстояниях от основания мачты на каждой из двух прямых (рис. 79, б). Так же туристы устанавливают шатровую палатку. Доказательство признака перпендикулярности прямой и плоскости имеет в своей основе это реальное построение.

Рис. 79

Доказательство. Пусть прямая а пересекает плоскость а в точке О и перпендикулярна двум прямым b и с, проходящим в плоскости а через точку О. Нужно доказать, что прямая а перпендикулярна ко всякой прямой, проходящей через точку О в плоскости α. Возьмём любую такую прямую d, отличную от b и с (рис. 80).

Рис. 80

Выберем на прямых b и с по точке В и С так, чтобы отрезок ВС пересекал прямую d в какой-то точке D. Возьмём точки В1 ∈ b и С1 ∈ с так, чтобы точка О была серединой отрезков ВВ1 и СС1. Тогда ΔOB1C1 = ΔОВС. Поэтому В1С1 = ВС и ∠B1 = ∠B. Отрезок В1С1 пересечёт прямую d в точке D1. Поскольку ОВ1= ОВ, ∠B1 = ∠B и ∠B1OD = ∠BOD, то ΔOB1D1 = ΔOBD. Следовательно, OD1 = OD и B1D1 = BD.

Возьмём теперь на прямой а любую точку А ≠ О и проведём отрезки АВ, AC, AD, АВ1, АС1 и AD1. Так как a ⊥ b и ОВ1 = ОВ, то а является серединным перпендикуляром к отрезку BB1. Поэтому АВ1 = АВ. Аналогично АС1 = АС. Так как, кроме того, В1С1 = ВС, то ΔАВ1С1 = ΔАВС. Тем самым ∠AB1D1 = ∠ABD. Кроме этих равных углов в треугольниках ABD и AB1D1, имеем АВ1 = АВ и B1D1 = BD. Следовательно, ΔAB1D1 = ΔABD. Но тогда и AD1 = AD.

Итак, точка А равноудалена от концов отрезка DD1. Так как точка О — середина отрезка DD1, то прямая а, проходящая через точки А и О, является серединным перпендикуляром к отрезку DD1 в плоскости ADD1, т. е. a ⊥ d. Поэтому прямая а перпендикулярна к любой прямой d в плоскости α, проходящей через О, т. е. a ⊥ α.

7.2 Плоскость перпендикуляров

Как доказано в п. 5.4, в пространстве через данную точку А, лежащую на прямой а, проходит бесконечно много прямых, перпендикулярных прямой а (см. рис. 66, б). Все эти прямые лежат в одной плоскости. Теперь мы можем доказать это утверждение, опираясь на признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Теорема 7 (о плоскости перпендикуляров). Прямые, перпендикулярные данной прямой в данной её точке, лежат в одной плоскости и заполняют её.

Доказательство. Пусть а — данная прямая и А — какая-либо её точка. Возьмём любые две прямые р и q, проходящие через точку А и перпендикулярные прямой а (рис. 81, а). Плоскость а, проходящая через прямые р и q, содержит точку А и перпендикулярна прямой а (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). Поэтому через каждую точку в плоскости α в ней проходит прямая, перпендикулярная прямой а. Иначе говоря, плоскость α заполняют прямые, перпендикулярные прямой а в точке А. Мы доказали второе утверждение теоремы. Докажем теперь первое.

Рис. 81

Допустим, что через точку А проходит прямая Ь, перпендикулярная прямой а, но не лежащая в плоскости α. Проведём через неё и прямую а плоскость β. Плоскость β пересечёт α по некоторой прямой с (рис. 81, б). И так как α ⊥ а, то с ⊥ а. Получается, что через точку А в плосксти β проходят две прямые b и с, перпендикулярные прямой а. Это невозможно. Значит, прямых, перпендикулярных прямой а в точке А и не лежащих в плоскости α, нет.

Пример к теореме о плоскости перпендикуляров дают спицы в колесе, перпендикулярные его оси: при вращении они зачерчивают плоскость (точнее, круг), принимая все положения, перпендикулярные оси вращения.

7.3 Построение взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей

Доказывая теорему о плоскости перпендикуляров, мы решили такую задачу на построение: через данную точку на данной пря мой провести плоскость, перпендикилярнию этой прямой.

Такая плоскость единственная. Докажите это.

Теперь решим другую задачу на построение.

Задача. Через данную точку на данной плоскости провести прямую, перпендикулярную этой плоскости.

Решение. Пусть даны плоскость α и точка А в плоскости α. Проведём в плоскости α через А какую-либо прямую а. Через точку А проведём плоскость β, перпендикулярную прямой а, — плоскость перпендикуляров (рис. 82). Плоскость β пересечёт плоскость α по некоторой прямой Ь. Проведём в плоскости β через А прямую с, перпендикулярную прямой Ь. Так как с ⊥ b и с ⊥ a (докажите!), то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости c ⊥ α. Задача решена. Единственность такой прямой докажите самостоятельно, применяя метод от противного.

Вопросы для самоконтроля

  1. Как проверить перпендикулярность прямой и плоскости?
  2. Как образуется плоскость перпендикуляров?
  3. Как построить плоскость, перпендикулярную прямой?
  4. Как построить перпендикуляр к плоскости?
  5. Какая задача на построение перпендикуляра к плоскости ещё не решена?


Рейтинг@Mail.ru