Учебник для 10-11 классов

ГЕОМЕТРИЯ

§ 7. Признак перпендикулярности прямой и плоскости

7.1 Основной признак перпендикулярности прямой и плоскости

Теорема 6. Прямая, перпендикулярная двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, перпендикулярна этой плоскости.

Пояснение. Понятно значение этой теоремы: достаточно установить (или обеспечить) перпендикулярность прямой только двум пересекающимся прямым в данной плоскости, как она будет перпендикулярна ко всем пересекающим её прямым, лежащим в этой плоскости.

Вот пример: раскройте книгу и поставьте её на стол (рис. 79, а). Корешок книги перпендикулярен краям обложки, лежащим на столе, и тем самым самому столу. Ещё пример. Устанавливая вертикально мачту, достаточно сделать так, чтобы она была перпендикулярна двум прямым, проведённым через её основание на палубе или на земле. А это можно сделать, натянув из одной точки мачты две пары растяжек равной длины и закрепив их на одинаковых расстояниях от основания мачты на каждой из двух прямых (рис. 79, б). Так же туристы устанавливают шатровую палатку. Доказательство признака перпендикулярности прямой и плоскости имеет в своей основе это реальное построение.

Рис. 79

Доказательство. Пусть прямая а пересекает плоскость а в точке О и перпендикулярна двум прямым b и с, проходящим в плоскости а через точку О. Нужно доказать, что прямая а перпендикулярна ко всякой прямой, проходящей через точку О в плоскости α. Возьмём любую такую прямую d, отличную от b и с (рис. 80).

Рис. 80

Выберем на прямых b и с по точке В и С так, чтобы отрезок ВС пересекал прямую d в какой-то точке D. Возьмём точки В₁ ∈ b и С₁ ∈ с так, чтобы точка О была серединой отрезков ВВ₁ и СС₁. Тогда ΔOB₁C₁ = ΔОВС. Поэтому В₁С₁ = ВС и ∠B₁ = ∠B. Отрезок В₁С₁ пересечёт прямую d в точке D₁. Поскольку ОВ₁= ОВ, ∠B₁ = ∠B и ∠B₁OD = ∠BOD, то ΔOB₁D₁ = ΔOBD. Следовательно, OD₁ = OD и B₁D₁ = BD.

Возьмём теперь на прямой а любую точку А ≠ О и проведём отрезки АВ, AC, AD, АВ₁, АС₁ и AD₁. Так как a ⊥ b и ОВ₁ = ОВ, то а является серединным перпендикуляром к отрезку BB₁. Поэтому АВ₁ = АВ. Аналогично АС₁ = АС. Так как, кроме того, В₁С₁ = ВС, то ΔАВ₁С₁ = ΔАВС. Тем самым ∠AB₁D₁ = ∠ABD. Кроме этих равных углов в треугольниках ABD и AB₁D₁, имеем АВ₁ = АВ и B₁D₁ = BD. Следовательно, ΔAB₁D₁ = ΔABD. Но тогда и AD₁ = AD.

Итак, точка А равноудалена от концов отрезка DD₁. Так как точка О — середина отрезка DD₁, то прямая а, проходящая через точки А и О, является серединным перпендикуляром к отрезку DD₁ в плоскости ADD₁, т. е. a ⊥ d. Поэтому прямая а перпендикулярна к любой прямой d в плоскости α, проходящей через О, т. е. a ⊥ α.

7.2 Плоскость перпендикуляров

Как доказано в п. 5.4, в пространстве через данную точку А, лежащую на прямой а, проходит бесконечно много прямых, перпендикулярных прямой а (см. рис. 66, б). Все эти прямые лежат в одной плоскости. Теперь мы можем доказать это утверждение, опираясь на признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Теорема 7 (о плоскости перпендикуляров). Прямые, перпендикулярные данной прямой в данной её точке, лежат в одной плоскости и заполняют её.

Доказательство. Пусть а — данная прямая и А — какая-либо её точка. Возьмём любые две прямые р и q, проходящие через точку А и перпендикулярные прямой а (рис. 81, а). Плоскость а, проходящая через прямые р и q, содержит точку А и перпендикулярна прямой а (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). Поэтому через каждую точку в плоскости α в ней проходит прямая, перпендикулярная прямой а. Иначе говоря, плоскость α заполняют прямые, перпендикулярные прямой а в точке А. Мы доказали второе утверждение теоремы. Докажем теперь первое.

Рис. 81

Допустим, что через точку А проходит прямая Ь, перпендикулярная прямой а, но не лежащая в плоскости α. Проведём через неё и прямую а плоскость β. Плоскость β пересечёт α по некоторой прямой с (рис. 81, б). И так как α ⊥ а, то с ⊥ а. Получается, что через точку А в плосксти β проходят две прямые b и с, перпендикулярные прямой а. Это невозможно. Значит, прямых, перпендикулярных прямой а в точке А и не лежащих в плоскости α, нет.

Пример к теореме о плоскости перпендикуляров дают спицы в колесе, перпендикулярные его оси: при вращении они зачерчивают плоскость (точнее, круг), принимая все положения, перпендикулярные оси вращения.

7.3 Построение взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей

Доказывая теорему о плоскости перпендикуляров, мы решили такую задачу на построение: через данную точку на данной пря мой провести плоскость, перпендикилярнию этой прямой.

Такая плоскость единственная. Докажите это.

Теперь решим другую задачу на построение.

Задача. Через данную точку на данной плоскости провести прямую, перпендикулярную этой плоскости.

Решение. Пусть даны плоскость α и точка А в плоскости α. Проведём в плоскости α через А какую-либо прямую а. Через точку А проведём плоскость β, перпендикулярную прямой а, — плоскость перпендикуляров (рис. 82). Плоскость β пересечёт плоскость α по некоторой прямой Ь. Проведём в плоскости β через А прямую с, перпендикулярную прямой Ь. Так как с ⊥ b и с ⊥ a (докажите!), то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости c ⊥ α. Задача решена. Единственность такой прямой докажите самостоятельно, применяя метод от противного.

Вопросы для самоконтроля

Как проверить перпендикулярность прямой и плоскости?
Как образуется плоскость перпендикуляров?
Как построить плоскость, перпендикулярную прямой?
Как построить перпендикуляр к плоскости?
Какая задача на построение перпендикуляра к плоскости ещё не решена?