Геометрия
10-11 классы

Задачи к § 6

  • 6.1. Пусть из точки А к плоскости α проведены перпендикуляр и две равные наклонные. Докажите, что равны:
    • а) проекции этих наклонных;
    • б) углы, которые они образуют с перпендикуляром;
    • в) углы, которые они образуют со своими проекциями.

    Составьте и проверьте обратные утверждения.

  • 6.2. Пусть в тетраэдре РАВС ребро PB ⊥ (ABC), РА = РС и К - точка на ребре АС.
    • а) Пусть РК ⊥ АС. Докажите, что ВК ⊥ АС.
    • б) Пусть ВК ⊥ АС. Докажите, что РК ⊥ АС.
    6.3. Пусть АВ — перпендикуляр из точки А на плоскость α, АС — наклонная к плоскости α.
    • а) Пусть известны их длины. Как вычислить длину проекции ВС? Как вычислить угол между наклонной и проекцией?
    • б) Пусть известны длина наклонной и её угол со своей проекцией. Как вычислить длину перпендикуляра и длину проекции?
    • в) Пусть известна длина перпендикуляра и угол между ним и наклонной. Как вычислить длины наклонной и проекции?
      • 6.4. Пусть АВ — перпендикуляр из точки А на плоскость α, АС и AD — две неравные наклонные к этой же плоскости. Докажите, что большая из них:
        • а) имеет большую проекцию;
        • б) образует с перпендикуляром больший угол;
        • в) образует со своей проекцией меньший угол.

        Проверьте обратные утверждения.

      • 6.5. В тетраэдре РАВС ребро РВ — его высота и АВ = ВС.
        • а) Заполните таблицу.
        • б) Выберите сами три из указанных величин, дайте им численное значение и попытайтесь вычислить остальные.
        • в) Установите связь между РА, АВ, ∠ABC, ∠APC.
        • г) Установите связь между АС, РВ, ∠ABC, ∠APC.

      • 6.6. Прикладная геометрия
        • а) В землю вертикально врыт столб. Из некоторой точки на земле он виден под углом φ. Из какой ещё точки на земле он виден под тем же углом? Какую фигуру образуют все такие точки? Из каких точек на земле он виден под ббльшим углом? под меньшим углом?
        • б) Придумайте разные способы вычисления высоты столба, если:
          1. можно подойти к нему вплотную;
          2. можно подойти к нему по прямой на некоторое расстояние;
          3. можно идти мимо него по прямой.


Рейтинг@Mail.ru