Геометрия
10-11 классы

§ 6. Перпендикулярность прямой и плоскости

6.1 Определение перпендикулярности прямой и плоскости

Представление о прямых или, вернее, об отрезках, перпендикулярных плоскости, дают вертикально стоящие столбы (они перпендикулярны поверхности земли), натянутый шнур, на котором висит лампа (он перпендикулярен потолку), ножки стола (они перпендикулярны полу). Вертикальный косяк двери перпендикулярен полу, и нижний край двери, прилегающий к полу, перпендикулярен косяку при всех положениях двери (рис. 73, а). Этим свойством и определяется перпендикулярность прямой и плоскости.

Определение. Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она пересекает эту плоскость и перпендикулярна ко всякой прямой в этой плоскости, проходящей через точку пересечения (рис. 73, б).

Рис. 73

Говорят также, что плоскость перпендикулярна прямой или что они взаимно перпендикулярны. Для взаимно перпендикулярных прямой а и плоскости а применяются обозначения a ⊥ α или α ⊥ а.

Отрезок или луч перпендикулярен плоскости, если он лежит на прямой, перпендикулярной этой плоскости. Если отрезок перпендикулярен плоскости и его конец лежит в этой плоскости, то он называется перпендикуляром к данной плоскости.

6.2 Перпендикуляр и наклонная

Отрезок, имеющий с плоскостью одну общую точку — конец отрезка, но не перпендикулярный данной плоскости, называется наклонной к плоскости.

Пусть из одной точки А, не лежащей в плоскости а, проведены перпендикуляр АВ и наклонная АС (рис. 74). Отрезок ВС называется проекцией наклонной АС на плоскость α.

Рис. 74

Перпендикуляр АВ короче наклонной АС, т. е. АВ < АС. Действительно, в прямоугольном треугольнике ABC катет АВ короче гипотенузы АС. Итак, перпендикуляр короче наклонной, если они проведены из одной и той же точки к одной плоскости.

Это можно сказать и так: перпендикуляр АВ из точки А на плоскость α — кратчайший из отрезков, соединяющих точку А с точками плоскости α.

Свойство перпендикуляра быть кратчайшим отрезком является характерным свойством. Это значит, что справедливо и обратное утверждение: если АВ — кратчайший отрезок от точки А до плоскости α, то АВ — перпендикуляр к плоскости α.

Доказательство. Докажем это методом от противного. Допустим, что АВ не перпендикуляр к α. Тогда через точку В в плоскости α проходит прямая а, не перпендикулярная к АВ (рис. 75). Опустим из А перпендикуляр AM на прямую а. В прямоугольном треугольнике АВМ катет AM меньше гипотенузы АВ: АМ < АВ. Но тогда отрезок АВ не будет кратчайшим из всех отрезков, идущих из точки А до плоскости а. Получили противоречие. Следовательно, АВ ⊥ α.

Рис. 75

Длиной перпендикуляра, опущенного из самой высокой точки предмета на его основание, измеряют высоту предмета. Так, высотой пирамиды называется длина перпендикуляра, опущенного из вершины пирамиды на плоскость её основания, а также сам перпендикуляр (на рисунке 76, а, б — это отрезок РО).

Рис. 76

6.3 О значении перпендикуляра

Перпендикуляр к плоскости играет очень важную роль и помимо того, что он является кратчайшим среди всех отрезков от данной точки до точек плоскости. Поясним ещё его значение. Положение плоскости в пространстве можно задавать, указывая перпендикулярную ей прямую и ту точку, в которой она эту прямую пересекает.

Важнейшее свойство перпендикуляра состоит в том, что плоскость расположена симметрично относительно него. Что это значит? Все лучи, лежащие в данной плоскости, образуют с ним равные углы — прямые углы, а для наклонной это не так (рис. 77, а). При вращении вокруг перпендикуляра плоскость совмещается сама с собой: колесо должно быть насажено на ось так, чтобы его плоскость была перпендикулярна оси. Прямоугольник со стороной, перпендикулярной плоскости, можно вращать вокруг этой стороны, а другая сторона будет скользить по плоскости. Это хорошо видно на правильно навешенной двери. Если её край не вертикален, дверь не открывается свободно и задевает пол.

Рис. 77

Беря примеры из физики, можно отметить, что давление жидкости или газа на стенку сосуда направлено по перпендикуляру к стенке, так же как давление груза на опору направлено по перпендикуляру к ней (рис. 77, б и 78, а).

Рис. 78

Перпендикуляр к поверхности фигурирует в законах отражения и преломления света. Так, закон отражения гласит: «Луч падающий и луч отражённый расположены в одной плоскости с перпендикуляром к поверхности зеркала в точке падения и образуют с ним равные углы». «Угол падения» и «угол отражения» —это углы между указанным перпендикуляром и лучом падающим и лучом отражённым (рис. 78, б).

Но главное значение перпендикуляра — это его роль в технике и во всей нашей жизни.

Мы, можно сказать, окружены перпендикулярами: ножки стола перпендикулярны полу, край шкафа перпендикулярен стене и т. д.

Вертикаль перпендикулярна горизонтальной плоскости. Вертикальность проверяют отвесом (см. фото). Перпендикулярность играет главную роль в строительстве: междуэтажные перекрытия укладывают перпендикулярно столбам каркаса здания.

Как мы дальше увидим, параллельность плоскостей связана с наличием у них общих перпендикуляров. Перпендикулярность и параллельность прямых и плоскостей — существенный элемент в строительстве, так что учение о перпендикулярах и параллелях можно назвать основами «строительной геометрии».

Вопросы для самоконтроля

  1. В чём различие между перпендикуляром к плоскости и наклонной к плскости?
  2. Какое определение перпендикуляра к плоскости вы знаете?
  3. В чём значение перпендикуляра к плоскости?


Рейтинг@Mail.ru