Учебник для 10 класса

ФИЗИКА

§ 7.3. Центр масс твердого тела. Импульс твердого тела

Вывод законов движения твердого тела на основе законов динамики материальной точки — сложная задача. Мы не будем останавливаться на ее общем решении. Вначале познакомимся с динамикой наиболее простого, поступательного, движения твердого тела. Для этого нужно ввести очень важное для динамики твердого тела понятие — центр масс.

Центр масс

Бросим палку так, чтобы в полете она вращалась в вертикальной плоскости. Если палка однородная, то можно заметить, что точка, находящаяся в центре палки, движется по плавной линии — такой, по которой летел бы брошенный камень, сама же палка вращается вокруг этой точки (рис. 7.15).

Рис. 7.15

Прикрепим к одному из концов палки груз и снова ее бросим таким же образом. Движение будет похожим, однако точка, движущаяся по плавной кривой, оказывается не в центре палки, а ближе к грузу (рис. 7.16).

Рис. 7.16

Из этого примера можно сделать вывод, что существует такая точка тела, которая движется так, как будто на нее действуют только внешние силы, причем ее положение зависит от того, как распределена масса внутри тела. Такую точку назовем центром масс тела.

Пусть система состоит из двух материальных точек массами m₁ и m₂. Разумно предположить, что центр масс расположен на отрезке прямой, соединяющей эти точки, и находится ближе к точке с большей массой. Наиболее простым будет предположение, что расстояния l₁ и l₂ от соответствующих точек до центра масс обратно пропорциональны массам этих точек(1), т. е.

Пусть ₁ и ₂ — векторы, проведенные от точек к центру масс; ₁ и ₂ — радиусы-векторы точек, а _с — радиус-вектор, проведенный из начала координат к центру масс этих двух точек. Тогда, как видно из рисунка 7.17,

Умножив обе части первого уравнения на m₁ а второго на m₂, сложим их. В результате получится:

Но из рисунка 7.17 и формулы (7.3.1) следует, что m₁₁ = -m₂₂. Таким образом, для системы, состоящей из двух точек, положение центра масс определяется радиусом-вектором

Рис. 7.17

Обобщим это соотношение на случай системы из произвольного числа материальных точек. В частности, этой системой может быть твердое тело. Если массу отдельного i-гo элемента (материальной точки) обозначить через Δm₁ а радиус-вектор через ₁, то положение центра масс будет определяться по формуле:

где m = — суммарная масса системы.

Как и любое векторное соотношение, формула (7.3.3) представляет собой компактную запись трех независимых выражений, определяющих координаты центра масс:

Здесь x_i, y_i, z_i — координаты одного из элементов тела (рис. 7.18). Далее мы докажем, что точка с координатами, определяемыми выражениями (7.3.4), действительно движется так, как движется материальная точка под действием внешних сил, приложенных к телу.

Рис. 7.18

Мы не будем сейчас обсуждать методы нахождения центра масс различных тел. Ограничимся лишь достаточно очевидным указанием на то, что центр масс всех однородных тел, имеющих центр симметрии, совпадает с этим центром. Так, центр масс однородного шара совпадает с его центром. Центр масс параллелепипеда находится в его центре симметрии. А центр масс однородного стержня находится в его середине.

Центр масс твердого тела может находиться и вне самого тела, например у однородной сферы или у кольца. Но все равно ускорение этой точки, не находящейся в твердом теле и соответственно не являющейся материальной точкой, тоже будет определяться внешними силами, приложенными к телу.

Импульс твердого тела

Докажем, что импульс твердого тела равен импульсу материальной точки, масса которой равна массе тела, а скорость равна скорости центра масс.

Импульс твердого тела по определению равен суммарному импульсу всех его точек:

где _i — скорости отдельных точек тела.

С другой стороны, согласно (7.3.3)

Пусть за малое время Δt радиусы-векторы элементов тела изменяются на Δ₁. Тогда и радиус-вектор центра масс изменится на Δ_с:

Разделим левую и правую части этого выражения на Δt:

Но — скорость i-го элемента твердого тела, а — скорость центра масс.

Следовательно,

Сравнивая это выражение с определением импульса тела (7.3.5), придем к выводу:

Это и требовалось доказать.

Заметим, что формула (7.3.10), так же как и определение центра масс (7.3.3), относится не только к твердому телу, но и к любой совокупности материальных точек. Мы ведь не требовали, чтобы расстояния между отдельными точками оставались неизменными, как это имеет место для твердого тела.

Мы ввели важное понятие: центр масс. Из дальнейшего будет видно, что определенный таким образом центр масс и является той замечательной точкой системы, для определения движения которой достаточно знания лишь внешних сил.

(1) Вспомните, что подобное соотношение выполняется при равновесии рычага.