Учебник для 10 класса

ФИЗИКА

§ 6.12. Примеры решения задач

При решении задач данного параграфа используется наряду с другими соотношениями механики закон сохранения энергии.

При применении закона сохранения энергии надо прежде всего выяснить, какое состояние системы целесообразно считать начальным, а какое конечным. Затем записать начальную энергию системы и приравнять ее конечной. При записи потенциальной энергии надо предварительно выбрать нулевой уровень потенциальной энергии в наиболее удобной форме.

Если система не замкнута, то изменение энергии равно работе внешних сил. Работа сил трения всегда рассматривается как работа внешних сил, так как при действии внутри системы сил трения механическая энергия не сохраняется. Не сохраняется она и при неупругом ударе.

Надо помнить, что работа и кинетическая энергия зависят от системы отсчета, а потенциальная энергия не зависит.

Задача 1

Трактор массой m = 980 кг, развивающий мощность N = 20 л. с, поднимается в гору с постоянной скоростью v = 5 м/с. Определите угол а наклона горы к горизонту. Силу сопротивления движению не учитывать.

Решение. Мощность двигателя N = • . Сила тяги равна по модулю составляющей силы тяжести, параллельной плоскости, так как движение равномерное: F = mgsin α. Следовательно,

Отсюда

Задача 2

Ящик с песком, имеющий массу М, подвешен на тросе длиной I. Длина троса значительно больше размеров ящика (баллистический маятник). Пуля массой m летит горизонтально и застревает в ящике. Трос после попадания пули отклоняется на угол а от вертикали. Определите модуль скорости пули ₀.

Решение. Скорость ящика и сразу после попадания в него пули найдем с помощью закона сохранения импульса, записав его в проекциях на ось X (рис. 6.24, а, б):

Рис. 6.24

Механическая энергия при этом не сохраняется, так как соударение неупругое.

Отсюда

Согласно закону сохранения энергии кинетическая энергия ящика с пулей сразу после попадания пули в ящик равна потенциальной энергии в момент максимального отклонения маятника от положения равновесия;

где h — высота, на которую поднимается ящик с пулей (рис. 6.24, в).

Из уравнения (6.12.2) имеем:

Высоту h можно найти по длине троса и углу отклонения маятника от положения равновесия (см. рис. 6.24, в):

Из выражений (6.12.4), (6.12.3) и (6.12.1) получим:

Задача 3

Две пластины, массы которых равны m₁, и m₂, скреплены между собой пружиной (рис. 6.25, а). С какой силой F нужно давить на верхнюю пластину, чтобы, двигаясь вверх после прекращения действия силы, верхняя пластина приподняла нижнюю?

Рис. 6.25

Решение. Пусть верхняя пластина занимает положение 1 при недеформированной пружине, а положение 3 соответствует подъему пластины на максимальную высоту (рис. 6.25,6, справа) при условии, что нижняя пластина еще не оторвалась от плоскости.

Нижняя пластина приподнимается, если действующая на нее сила упругости больше силы притяжения ее к Земле: kx₂ > m₂g. Здесь х₂ — деформация пружины в момент, когда верхняя пластина достигает максимальной высоты.

Для того чтобы пружина растянулась на величину х₂, ее необходимо сжать на величину х₁ (положение 2 на рисунке 6.25, б, слева), которая может быть найдена из закона сохранения энергии:

Здесь мы приняли, что в положении 2 потенциальная энергия взаимодействия с Землей верхней пластины равна нулю. Преобразуем это уравнение к более простому виду:

После деления правой и левой частей уравнения на х₁ + х₂ получим:

Так как kx₂ > m₂g, то

Чтобы сжать пружину на величину x₁ необходимо к весу верхней пластины m₁g добавить силу F, удовлетворяющую равенству:

Подставляя сюда найденное значение x₁ получим искомую силу:

Задача 4

Вычислите вторую космическую скорость vu (наименьшую скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно, преодолев гравитационное притяжение Земли, удалилось от нее на бесконечно большое расстояние).

Решение. Если тело массой m приобрело у поверхности Земли скорость v₀, а на расстоянии R от центра Земли имеет скорость v, то, согласно закону сохранения энергии (сопротивление воздуха не учитываем),

Здесь М и R₃ — соответственно масса и радиус Земли. Когда тело удаляется от Земли на бесконечно большое расстояние (R —» ∞ ), то скорость v₀ будет наименьшей (т. е. v₀ = v_п) при v = 0. Следовательно,

Отсюда

(v_I — первая космическая скорость).

Задача 5

Шарик, движущийся со скоростью 5, налетает на стенку, которая движется навстречу шарику со скоростью и (рис. 6.26). Происходит упругий удар. Определите скорость шарика после удара. Массу стенки считать бесконечно большой.

Рис. 6.26

Решение. Проще всего решить эту задачу, рассматривая соударение шарика в системе отсчета, связанной со стенкой. В этой системе отсчета проекция скорости шарика на координатную ось X системы координат, связанной со стенкой, равна v + u, если ось X направлена горизонтально слева направо (рис. 6.26). После удара в этой системе отсчета проекция скорости шарика станет равной -(v + u). Проекция скорости _a шарика после удара относительно неподвижной системы отсчета, согласно закону сложения скоростей, равна:

Модуль скорости v_a = v + 2u.

Задача 6

Частица массой m₁ налетает со скоростью ₁ на покоящуюся частицу, масса которой m₂ = 3m₁. Происходит абсолютно упругое нецентральное соударение, после которого вторая частица начинает двигаться под углом α₂ = 45° к первоначальному направлению движения первой частицы. Найдите модули скоростей обеих частиц и направление скорости первой частицы после соударения.

Решение. Выберем ось X так, чтобы ее направление совпадало с направлением скорости ₁, а ось У была перпендикулярна этому направлению (рис. 6.27).

Рис. 6.27

Скорости частиц после взаимодействия обозначим через ₁ и ₂. Направление скорости ₁ изобразим ориентировочно, так как точное направление нам неизвестно.

Неизвестные скорости, как обычно, находим, определяя их проекции на оси координат. Эти проекции можно определить с помощью законов сохранения импульса и энергии. Согласно закону сохранения импульса:

Запишем это уравнение в проекциях на оси X и Y:

Отсюда

Для модуля скорости ₁ имеем:

Теперь применим закон сохранения энергии. В данном случае сохраняется кинетическая энергия частиц:

Подставив (6.12.6) в (6.12.7) и учитывая, что m₂ = 3m₁, получим:

Отсюда

Найдем проекции скорости ₁ на оси X и У, используя уравнения (6.12.5) и найденное значение u₂:

Модуль скорости ₁ равен:

Направление вектора скорости ₁ образует с осью X угол α₁, удовлетворяющий уравнению

Пользуясь тригонометрическими таблицами, находим, что

Упражнение 11

Почему при абсолютно упругом соударении шарика со стенкой импульс шарика меняется, а кинетическая энергия не меняется?
Какая работа будет совершена, если под действием силы, равной 13 Н, груз массой 1 кг поднимется на высоту 5 м?
Автомобиль массой 2 т трогается с места и едет в гору, которая поднимается на 2 м на каждые 100 м пути. Пройдя 100 м, он достигает скорости 32,4 км/ч. Коэффициент трения равен 0,05. Определите мощность, развиваемую двигателем.
Мощность гидростанции N= 7,35 • 10⁷ Вт. Чему равен объемный расход воды Q_v, если коэффициент полезного действия станции η = 75% и плотина поднимает уровень воды на высоту Н = 10 м?
Тело брошено вертикально вверх со скоростью v⁰ = 49 м/с. На какой высоте Н его кинетическая энергия E^k равна его потенциальной энергии Е^p?
На нити в вертикальной плоскости вращается груз массой m. Найдите разность сил натяжения нити при прохождении грузом нижней и верхней точек траектории.
Жесткий невесомый стержень ОВ может вращаться без трения в вертикальной плоскости вокруг оси, проходящей через точку О. В середине стержня и на его конце закреплены два шарика, массы которых m^А = 4m и m^В = m. Стержень приводят в горизонтальное положение и отпускают (рис. 6.28). Определите натяжение стержня на участках ОА и АВ в момент прохождения положения равновесия.

Рис. 6.28
Из шахты глубиной 200 м поднимают с постоянной скоростью груз массой 500 кг на канате, каждый метр которого имеет массу 1,5 кг. Определите работу, совершаемую при поднятии груза.
Санки съезжают с горы высотой Н и углом наклона а и движутся далее по горизонтальному участку (рис. 6.29). Коэффициент трения на всем пути санок одинаков и равен μ. Определите расстояние s, которое пройдут санки, двигаясь по горизонтальному участку до полной остановки.

Рис. 6.29
Шарик массой m = 100 г подвешен на нити длиной l = 1 м. Шарик раскручивают так, что он движется по окружности в горизонтальной плоскости, отстоящей от точки подвеса на половину длины нити (конический маятник). Какую работу надо совершить для раскручивания шарика?
Закрытый пробкой сосуд, вес которого равен выталкивающей силе, покоится на дне стакана с водой. Почти не совершая работы, его можно поднять к поверхности воды. Если теперь вынуть пробку, то совуд наполнится водой и утонет. При этом он может совершить работу. Если же вынуть пробку, когда сосуд лежит на дне, он также наполнится водой, но работы не совершит. Как согласовать полученный в первом случае выигрыш в работе с законом сохранения энергии?
Свинцовый шар массой m¹ = 500 г, движущийся со скоростью v¹ = 10 м/с, сталкивается с неподвижным шаром из воска массой m² = 200 г, после чего шары движутся вместе. Определите кинетическую энергию шаров после удара.
С какой скоростью u должна двигаться нога футболиста, чтобы после столкновения с ней мяч остановился? Скорость мяча до столкновения равна v. Массу мяча считать много меньшей массы ноги.
Шар массой М, имеющий скорость , налетает на покоящийся шар массой m. Происходит центральный абсолютно упругий удар. В момент наибольшей деформации шары имеют одинаковую скорость. Чему равна потенциальная энергия деформации шаров в этот момент времени?
На покоящийся шар налетает второй шар, имеющий перед ударом скорость . Происходит упругий нецентральный удар. Докажите, что угол между скоростями шаров после удара равен 90°, если шары имеют одинаковые массы.
Мяч брошен вертикально вверх. Учитывая сопротивление воздуха, сравните время подъема и время падения мяча.
0днородная цепочка длиной l лежит на абсолютно гладкой доске. Небольшая часть цепочки пропущена в отверстие, сделанное в доске (рис. 6.30). В начальный момент времени лежащий на доске конец цепочки придерживают, а затем отпускают, и цепочка начинает соскальзывать с доски под действием силы тяжести свешивающегося конца. Определите скорость движения цепочки в момент, когда длина свешивающейся части равна l.

Рис. 6.30
С горки высотой h соскальзывает брусок массой тm и останавливается на горизонтальной поверхности из-за действия силы трения. Какую работу надо совершить, чтобы поднять брусок на вершину этой горки, не увеличивая его кинетическую энергию? Брусок перемещают так, что он не отрывается от поверхности, и сила, под действием которой поднимается груз, направлена по касательной к поверхности во всех точках.
Между двумя шариками массами m и М находится сжатая пружина. Если один шарик (массой М) удерживать на месте, а другой освободить, то он отлетает со скоростью . С какой скоростью будет двигаться шарик массой m, если оба шарика освободить одновременно? Деформация пружины одинакова в обоих случаях.
0т поезда массой М = 600 т, идущего с постоянной скоростью по прямолинейному горизонтальному пути, отрывается последний вагон массой т = 60 т. Какое расстояние до остановки пройдет этот вагон, если в момент его остановки поезд движется с постоянной скоростью 40 км/ч? Мощность тепловоза, ведущего состав вагонов, постоянна и равна N = 1 МВт.

Сваю массой 1000 кг забивают в грунт копром, масса которого 4000 кг. Копер свободно падает с высоты 5 м, и при каждом ударе свая опускается на глубину 5 см. Определите силу сопротивления грунта, считая ее постоянной.
Колодец, площадь дна которого S и глубина Н, наполовину заполнен водой. Насос выкачивает воду и подает ее на поверхность Земли через цилиндрическую трубу радиусом R. Какую работу А совершит насос, если выкачает всю воду из колодца за время τ?
Рассматривая падение камня на Землю, мы утверждаем, что изменение импульса Земли равно изменению импульса камня, а изменение кинетической энергии Земли при этом не нужно учитывать. Как это объяснить?
Кубик соскальзывает без трения с наклонной плоскости высотой h. Согласно закону сохранения энергии его кинетическая энергия у основания плоскости равна = mgh. Рассмотрим теперь движение кубика с точки зрения инерциальной системы отсчета, движущейся вдоль горизонтальной плоскости со скоростью v = . В этой системе отсчета начальная скорость кубика равна v = , а конечная скорость равна нулю. Следовательно, начальная энергия Е₁ = + mgh — 2mgh, а конечная Е₂ = 0. Куда же исчезла энергия?
С высоты 2R соскальзывает небольшое тело по желобу, который образует «мертвую петлю» радиусом R (рис. 6.31). На какой высоте h относительно уровня АВ тело оторвется от желоба? На какой высоте Н оно пройдет над точкой А?

Рис. 6.31
Лента транспортера длиной I движется со скоростью v₀ (рис. 6.32). С какой скоростью v нужно толкнуть кубик массой т против движения ленты, чтобы уменьшение механической энергии за счет работы силы трения между кубиком и лентой транспортера было максимальным? Чему равно это уменьшение механической энергии АЕ, если коэффициент трения равен μ, и выполняется условие ?

Рис. 6.32