Учебник для 10 класса

ФИЗИКА

       

§ 6.6. Потенциальная энергия

  • Вычислим работу, используя не второй закон Ньютона, а выражение сил взаимодействия между телами в зависимости от расстояний между ними. Это позволит нам ввести понятие потенциальной энергии, зависящей не от скоростей тел, а от расстояний между телами (или от расстояний между частями одного и того же тела).
  • Так как силы могут быть самыми разнообразными, то нужно рассмотреть различные случаи. Мы ограничимся наиболее простыми.

Потенциальная энергия взаимодействия тела и Земли

Рассмотрим вначале работу внутренних сил системы, состоящей из земного шара и поднятого над поверхностью Земли тела, например камня. При небольших расстояниях от поверхности Земли эту силу можно считать постоянной и равной:

Сила, действующая на камень, направлена вертикально вниз. Вычислим работу этой силы при перемещении камня вверх вдоль прямой ВС (рис. 6.9).

Рис. 6.9

Начальная точка В находится на высоте h1 над Землей, а конечная точка С — на высоте h2. Ось Y направим вертикально вверх, а ось X вдоль поверхности Земли. Работа

Так как Δy = h2 - h1 (см. рис. 6.9), то

При движении камня вверх сила тяжести совершает отрицательную работу. Если бы камень двигался вниз, то работа была бы положительной.

Работой силы, действующей на Землю со стороны камня, можно пренебречь, так как перемещение Земли ничтожно мало из-за ее огромной массы(1).

Итак, работу силы тяжести можно представить в виде разности двух значений величины, зависящей от взаимного расположения тела и Земли.

Величину, равную произведению массы т тела на ускорение свободного падения g и высоту h тела над поверхностью Земли, называют потенциальной(2) энергией взаимодействия тела и Земли. Обозначим потенциальную энергию через Еp:

С учетом (6.6.3) выражение для работы (6.6.2) запишется так:

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком.

Когда сила тяжести совершает отрицательную работу, то потенциальная энергия увеличивается: Еp2 > Еp1, При совершении положительной работы потенциальная энергия, напротив, уменьшается:

Ер2 < Еp1

Из выражения (6.6.2) видно, что работа силы тяжести определяется лишь изменением высоты h2 - h1 тела над поверхностью Земли, но не зависит от перемещения его в горизонтальном направлении. Это справедливо не только для работы при перемещении тела вдоль прямой, но и для работы на произвольном участке пути. В самом деле, если тело перемещается вдоль кривой ВС из точки, находящейся над землей на высоте h1, в точку, лежащую на высоте h2 (рис. 6.10), то работа вдоль этой кривой равна работе вдоль ступенчатой линии, состоящей из вертикальных и горизонтальных отрезков малой длины. На горизонтальных отрезках работа равна нулю, а сумма работ на вертикальных отрезках равна работе на вертикальной прямой длиной h2 - h1. Поэтому работа по-прежнему будет выражаться формулой (6.6.2).

Рис. 6.10

Следовательно, работа силы тяжести не зависит от формы траектории и определяется только начальным и конечным положением тела. На замкнутой траектории работа равна нулю, так как изменение потенциальной энергии при этом равно нулю.

Именно независимость работы силы тяжести от формы траектории, по которой перемещается тело, позволяет ввести понятие потенциальной энергии.

Работа силы упругости

Вычислим работу, которую совершает растянутая пружина при перемещении прикрепленного к ней тела.

На рисунке 6.11, а показана пружина, у которой один конец закреплен неподвижно, а к другому концу прикреплен шар. Если пружина растянута (рис. 6.11, б), то она действует на шар с силой 1 направленной к положению равновесия шара, в котором пружина не деформирована. Начало отсчета оси X совместим с концом пружины в нерастянутом состоянии.

Рис. 6.11

Вычислим работу силы упругости при перемещении шара из точки с координатой х1 в точку с координатой х2. Из рисунка 6.11, в видно, что модуль перемещения |Δ| = х1 - х2.

При деформации пружины сила упругости изменяется линейно с изменением координаты: F = k|x|. Для вычисления работы воспользуемся графиком зависимости силы от координаты шара (рис. 6.12). Как было показано в § 6.2, работу силы упругости при перемещении |Δ| = х1 - х2 можно считать численно равной площади трапеции BCDM. Обозначив через F1 модуль силы упругости в начальном положении шара, а через F2 — в конечном, получим

Рис. 6.12

Величину можно рассматривать как среднее значение силы, действующей на шар. При линейной зависимости силы от расстояния это среднее значение равно полусумме начального и конечного значений силы.

Теперь рассмотрим два тела, соединенных пружиной и лежащих на гладкой горизонтальной поверхности. Будем считать для простоты, что тела могут перемещаться только вдоль прямой, совпадающей с осью пружины. Модули сил, с которыми взаимодействуют тела, равны:

где l — расстояние между телами, а l0 — длина пружины в нерастянутом состоянии.

Пусть в начальном положении длина пружины равна l1 (рис. 6.13, а), а в конечном l2 (рис. 6.13, б) (l1 > l2). При сокращении пружины на Δl = l1 - l2 первое тело переместится на расстояние ΔlI, а второе на расстояние ΔlII (см. рис. 6.13, б), так что

Рис. 6.13

Согласно формуле (6.6.5) работа силы упругости по перемещению первого тела равна:

Аналогично работа по перемещению второго тела

Учитывая, что ΔlI + ΔlII = l1 - l2, приходим к выводу: полная работа внутренних сил системы (сил упругости в данном случае) равна:

Выражение (6.6.7) нетрудно преобразовать к виду

где Δl1 = l1 - l0, а Δl2 = l2 - l0 — деформация пружины в начальном и конечном состояниях(3).

Потенциальная энергия деформированной пружины

Формула (6.6.8) показывает, что работа силы упругости может быть представлена как изменение величины

взятое с противоположным знаком.

При сжатии (или растяжении) пружины

Величина Е в формуле (6.6.9) представляет собой потенциальную энергию тел, взаимодействующих посредством пружины.

Работа сил упругости зависит только от деформации пружины, определяемой начальной и конечной длиной пружины. От формы траектории тел, на которые действует пружина, работа А не зависит, подобно тому как не зависит от формы пути работа сил тяжести. Ведь при перемещении любого тела перпендикулярно оси пружины, когда ее длина не меняется, работа будет равна нулю, так как при этом сила перпендикулярна перемещению. Работа определяется разностью значений потенциальной энергии в начальном и конечном состояниях.

Заметим, что потенциальная энергия, определяемая выражением (6.6.9), не зависит от свойств тел, которые связывает пружина. Эту энергию следует считать сконцентрированной в пружине.

Консервативные силы

Мы показали, что работа силы тяжести вблизи поверхности Земли и работа сил упругости растянутой пружины не зависят от формы траектории и могут быть представлены как изменения зависящей от координат величины — потенциальной энергии, взятые с противоположным знаком.

Этот результат оказывается справедливым не только для рассмотренных нами сил, но и для любых сил, зависящих от расстояний между телами, но не зависящих от их скоростей. Как мы скоро увидим, механическая энергия, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, сохраняется в замкнутой системе лишь в том случае, когда в ней действуют силы, зависящие только от расстояния. Такие силы называются консервативными, т. е. сохраняющимися (вспомните: консервы). Системы, в которых действуют только эти силы, также называют консервативными.

Работа консервативных сил всегда может быть представлена как приращение потенциальной энергии, взятое с противоположным знаком:

Потенциальная энергия тел, взаимодействующих посредством гравитационных сил

Возможные формы потенциальной энергии не исчерпываются выражениями (6.6.3) и (6.6.9). Так, потенциальная энергия двух тел, взаимодействующих друг с другом посредством сил всемирного тяготения, в общем случае записывается так:

где G — гравитационная постоянная.

Чтобы обосновать справедливость формулы (6.6.12), решим обратную задачу. Докажем, что, взяв потенциальную энергию в виде (6.6.12), мы получим для силы взаимодействия точечных тел закон всемирного тяготения Ньютона.

Вычислим, используя формулу (6.6.12), работу по перемещению на малое расстояние |Δ| = г2 - г1 точечного тела массой m1 взаимодействующего с неподвижным точечным телом массой m2 (рис. 6.14).

Рис. 6.14

Если |Δ| мало, то силу взаимодействия тел массами m1 и m2 можно считать постоянной. Работа в этом случае равна:

так как сила и перемещение направлены в противоположные стороны.

Подставляя в эту формулу значение потенциальной энергии (6.6.12), получим:

Если |Δ| << r2 и |Δ| << r2, то r1r2 ≈ r2.

Тогда

Отсюда

Допустив, что потенциальная энергия имеет форму (6.6.12), мы пришли к правильному выражению для силы всемирного тяготения.

Можно показать, что выражение для потенциальной энергии Еp = mgh представляет собой частный случай формулы (6.6.12), когда изменение высоты h тела над поверхностью Земли много меньше ее радиуса R.

В самом деле, пусть начальная высота тела массой m над поверхностью Земли равна h1 а конечная — h2. Тогда согласно формулам (6.6.11) и (6.6.12) будем иметь:

Так как R >> h1 и R >> h2, то приближенно

Ускорение свободного падения на поверхности Земли g = G. Поэтому

и, следовательно, Еp = mgh.

Работа сил, зависящих только от расстояний между телами системы (но не от их скоростей), не зависит от формы траектории. Поэтому работу можно представить как разность значений некоторой функции, называемой потенциальной энергией, в конечном и начальном состояниях системы. Значение потенциальной энергии зависит от характера действующих сил.


(1) Разумеется, это справедливо в системе отсчета, которая не перемещается вдоль оси Y.

(2) От латинского слова potentia — возможность.

(3) Это легко проверить, если произвести все действия в формулах (6.6.7) и (6.6.8) и сравнить результаты.

 

 

 

Top.Mail.Ru
Top.Mail.Ru