Учебник для 10 класса

ФИЗИКА

       

§ 5.7. Примеры решения задач

Закон сохранения импульса целесообразно применять для решения тех задач, в которых требуется определять скорости, а не силы или ускорения. Конечно, решать подобные задачи можно, используя законы Ньютона. Но применение закона сохранения импульса упрощает решение.

Прежде чем решать задачу с помощью закона сохранения импульса, надо выяснить, можно ли его применять в данном случае. Закон можно применять для замкнутой системы или же в случае, когда сумма проекций сил на какое-либо направление равна нулю, а также когда импульсом внешних сил можно пренебречь.

Для решения задачи нужно записать закон в векторной форме (5.3.7).

После этого векторное уравнение записывают в проекциях на оси выбранной системы координат(1).

Выбор направления осей диктуется удобством решения задачи. Если, например, все тела движутся вдоль одной прямой, то координатную ось целесообразно направить вдоль этой прямой.

При решении некоторых задач приходится использовать дополнительно уравнения кинематики.

Некоторые задачи решаются с применением уравнения изменения импульса в форме (5.3.5).

Задача 1

Стальной шарик массой 0,05 кг падает с высоты 5 м на стальную плиту. После столкновения шарик отскакивает от плиты с такой же по модулю скоростью. Найдите силу, действующую на плиту при ударе, считая ее постоянной. Время соударения равно 0,01 с.

Решение. При ударе шар и плита действуют друг на друга с силами, равными по модулю, но противоположными по направлению. Определив силу, действующую на шарик со стороны плиты, мы тем самым найдем силу, с которой шарик действовал на плиту за время Δt, в течение которого длится соударение.

Во время соударения на шарик действуют две силы: сила тяжести m и сила со стороны плиты (рис. 5.13).

Рис. 5.13

Согласно уравнению (5.2.3)

Обозначим через 1 скорость шарика непосредственно до удара о плиту, а через 2 — скорость после удара, тогда изменение импульса шарика Δ = m2 - m1, поэтому

В проекциях на ось У это уравнение запишется так:

Учитывая, что v2 = v1 = v, получим

Модуль скорости шарика при падении его с высоты h определяется по формуле v = = 10 м/с. Теперь, используя выражение (5.7.1), найдем модуль силы :

По третьему закону Ньютона

Следовательно, F1 = 100,5 Н; эта сила приложена к плите и направлена вниз.

Заметим, что чем меньше время взаимодействия Δt, тем большим будет значение величины в формуле (5.7.1) по сравнению с mg. Поэтому при соударении можно не учитывать силу тяжести. Если бы шар был сделан из пластилина, то он бы прилип к плите и модуль изменения его импульса был бы в два раза меньше. Соответственно и сила, действующая на плиту, была бы также в два раза меньше.

Задача 2

Во время маневров на железнодорожной станции две платформы массами m1 = 2,4 • 104 кг и m2 = 1,6 • 104 кг двигались навстречу друг другу со скоростями, модули которых равны v1 = 0,5 м/с и v2 = 1 м/с. Найдите скорость их совместного движения после того, как сработала автосцепка.

Решение. Изобразим схематично движущиеся платформы до столкновения (рис. 5.14). Внешние силы 1 и m1, 2 и m2, действующие на тела системы, взаимно уравновешены. На платформы действуют еще силы трения, которые являются внешними для системы.

Рис. 5.14

При качении платформ по рельсам силы трения невелики, поэтому за малый интервал времени столкновения они заметно не изменят импульс системы. Следовательно, можно применить закон сохранения импульса:

где — скорость платформ после сцепки.

В проекциях на ось X имеем:

Так как v = v1 a v2x = -v2, то

Отрицательный знак проекции скорости показывает, что скорость направлена противоположно оси X (справа налево).

Задача 3

Два пластилиновых шарика, отношение масс которых = 4, после соударения слиплись и стали двигаться по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью . (рис. 5.15, вид сверху).

Рис. 5.15

Определите скорость легкого шара до соударения(2), если он двигался втрое быстрее тяжелого (v1 = Зv2), а направления движения шаров были взаимно перпендикулярны. Трением пренебречь.

Решение. Так как скорости 1 и 2 шаров взаимно перпендикулярны, то оси прямоугольной системы координат удобно направить параллельно этим скоростям.

Согласно закону сохранения импульса имеем:

Запишем это уравнение в проекциях на оси X и У, проведенные так, как показано на рисунке 5.15:

Так как v1x = v1, v2x = 0, v1y = 0 и v2y = v2, то

Модуль скорости равен:

Итак, v1 = u, следовательно, v1 = Зu.

Задача 4

Кузнечик сидит на конце соломинки длиной l, которая лежит на гладком полу. Кузнечик прыгает и попадает на другой конец соломинки. С какой минимальной начальной скоростью относительно пола min он должен прыгнуть, если его масса М, а масса соломинки m. Сопротивление воздуха и трение не учитывать.

Решение. Направим ось У вверх, а ось X вдоль соломинки по направлению прыжка кузнечика (рис. 5.16). Проекции скорости v кузнечика на координатные оси соответственно равны:

vx = vcos α и vy = vsin α.

Рис. 5.16

Рассмотрим систему кузнечик — соломинка. На тела системы внешние силы действуют лишь по вертикальному направлению (трение отсутствует).

Так как сумма проекций внешних сил на ось X равна нулю, то сохраняется сумма проекций импульсов кузнечика и соломинки на ось X:

где v1x — проекция скорости соломинки относительно пола. Отсюда

Знак минус указывает, что соломинка получает скорость 1 направленную противоположно оси X.

Далее задача решается с помощью формул кинематики (см. § 1.24). Время полета кузнечика

По горизонтальному направлению кузнечик относительно соломинки пролетит расстояние l.

Следовательно, модуль горизонтальной составляющей его скорости относительно движущейся соломинки равен:

Но с другой стороны,

Таким образом,

Отсюда

Очевидно, что модуль скорости кузнечика минимален тогда, когда максимален знаменатель дроби полученного выражения. Как известно, значение синуса не может быть больше 1. Итак,

Задача 5

В начальный момент времени ракета массой М имела скорость v0. В конце каждой секунды из ракеты выбрасывается порция газа массой m. Скорость порции газа отличается от скорости ракеты до сгорания данной массы газа на постоянное значение, равное u, т. е. скорость истечения газа постоянна. Определите скорость ракеты через n секунд. Действие силы тяжести не учитывать.

Решение. Обозначим через vk скорость ракеты в конце k-й секунды. В конце (k + 1)-й секунды из ракеты выбрасывается газ массой m, который уносит с собой импульс, равный m(-u + vk). Из закона сохранения импульса, записанного для модулей векторов, следует, что

Изменение скорости ракеты за 1 с равно:

Зная изменение скорости за 1 с, можно написать выражение для скорости в конце n-й секунды:

Упражнение 10

  1. Свинцовый шар массой 200 г движется перпендикулярно стене со скоростью 10 м/с и сталкивается с ней. Найдите силу, действующую на стену при ударе, считая ее постоянной. Время столкновения равно 0,01 с. Шар не отскакивает от стены.
  2. Стальной шар массой 100 г движется по горизонтальной поверхности без трения в направлении, перпендикулярном стене. Скорость шара до удара равна 10 м/с. После соударения шар отскакивает от стены с такой же по модулю скоростью, но в противоположном направлении. Найдите силу, действующую на стену при ударе, считая ее постоянной. Время соударения 0,01 с.
  3. По рельсам в горизонтальном направлении катится тележка с песком. Через отверстие в дне песок ссыпается между рельсами. Изменяется ли скорость тележки? Трение не учитывать.
  4. На платформу массой 600 кг, движущуюся горизонтально со скоростью 1 м/с, насыпали сверху 200 кг щебня. Чему стала равна скорость платформы?
  5. Ракета, масса которой вместе с зарядом равна 250 г, взлетает вертикально вверх и достигает высоты 150 м. Определите скорость истечения газов из ракеты, считая, что сгорание заряда происходит мгновенно. Масса заряда равна 50 г.
  6. Призма массой М с углом наклона а находится на гладком льду. На призме у ее основания стоит собака массой m. С какой скоростью будет двигаться призма, если собака побежит вверх по призме со скоростью v относительно нее?
  7. Граната, брошенная от поверхности Земли, разрывается на два одинаковых осколка в наивысшей точке траектории на расстоянии а от места бросания, считая по горизонтали. Один из осколков летит в обратном направлении с той же по модулю скоростью, которую имела граната до разрыва. На каком расстоянии l от места бросания упадет второй осколок?
  8. Две ракеты массой М каждая летят в одном направлении: одна со скоростью v, а другая со скоростью v1 = 1.1v. Когда одна ракета догнала другую, на короткое время был включен двигатель первой ракеты. Какую массу отработанного топлива она должна выбросить со скоростью v2 = Зу относительно ракеты, чтобы скорости ракет для совершения безопасной стыковки стали равными?
  9. Две лодки идут параллельными курсами навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями. При встрече лодки обмениваются грузами, имеющими одинаковую массу. Обмен может происходить двумя способами: 1) сначала с одной лодки на другую перебрасывают груз, а затем со второй лодки перебрасывают груз обратно на первую; 2) грузы перебрасывают из лодки в лодку одновременно. При каком способе скорость лодок после перебрасывания грузов будет больше?
  10. Три лодки с одинаковыми массами М движутся по инерции друг за другом с одинаковыми скоростями v. Из средней лодки в крайние одновременно перебрасывают грузы массой m со скоростью u относительно лодок. Какие скорости будут иметь лодки после перебрасывания грузов? Сопротивление воды и присоединенную массу не учитывать.
  11. Снаряд разрывается в верхней точке траектории на две равные части. Одна половина снаряда получает скорость, направленную вертикально вниз, и падает под местом разрыва, а вторая половина снаряда оказывается на расстоянии l по горизонтали от этого места. Определите модуль скорости снаряда перед разрывом и модуль скорости второго осколка, если известно, что взрыв произошел на высоте Н и первый осколок достиг поверхности Земли через промежуток времени, равный t.
  12. Человек, находящийся в лодке, переходит с ее носовой части на корму. На какое расстояние относительно воды переместится лодка длиной l, если масса человека m1 а масса лодки m2? Сопротивление воды и присоединенную массу не учитывать.
  1. Клин с углом α при основании может без трения перемещаться по гладкой горизонтальной поверхности (рис. 5.17). При каком соотношении масс m1 и m2 грузов, связанных нитью, перекинутой через блок, клин будет неподвижен и при каком соотношении масс клин начнет перемещаться вправо или влево? Коэффициент трения между грузом массой m2 и клином равен μ.

    Рис. 5.17

  2. Снаряд, запущенный вертикально вверх, разрывается в самой верхней точке подъема на два одинаковых осколка, один из которых летит вверх, а другой — вниз. С какой скоростью упадет на землю второй осколок, если первый падает на нее со скоростью v?
  3. Элементарная частица распадается на две части массами m1 и m2, имеющие скорости 1 и 2, угол между которыми равен α. Чему равен импульс частицы до распада?
  4. Водометный катер движется по озеру. Сила сопротивления воды движению катера по модулю равна F = kv. Скорость выбрасываемой воды относительно катера равна u. Определите установившуюся скорость катера, если площадь сечения потока воды, выбрасываемой двигателем, равна S, а плотность воды равна ρ.
  5. С какой силой давит на землю кобра, когда она, готовясь к броску, поднимается вертикально вверх с постоянной скоростью v? Масса кобры m, а ее длина l.

(1) Иногда целесообразно решать задачу, используя закон сложения векторов.

(2) Если после соударения тела движутся с одинаковой скоростью, то такой удар называется абсолютно неупругим.

 

 

 

Top.Mail.Ru
Top.Mail.Ru