Учебник для 10 класса

ФИЗИКА

§ 4.5. Примеры решения задач

При решении задач с использованием неинерциальных систем отсчета применяются те же правила, что и при решении задач на динамику в инерциальных системах отсчета. Появляются лишь дополнительные силы — силы инерции. Если инерциальная система движется с постоянным ускорением _п, то сила инерции _и = -m_п.

Во вращающейся системе координат центробежная сила инерции _и = mω²R, если тело (материальная точка) находится на расстоянии R от оси вращения и покоится относительно данной неинерциальной системы отсчета.

Нужно иметь в виду, что любую задачу можно решить, используя инерциальную систему отсчета. Использование неинерциальных систем отсчета диктуется соображениями простоты и удобства решения задач в этих системах.

Задача 1

К потолку лифта, поднимающегося с ускорением а — 1,2 м/с², направленным вверх, прикреплен динамометр. К динамометру подвешен блок, свободно вращающийся вокруг горизонтальной оси. Через блок перекинута нить, к концам которой прикреплены грузы массами m₁ = 200 г и m₂ = 300 г. Определите показания динамометра. Массой нити и блока пренебречь.

Решение. Будем рассматривать движение относительно неинерциальной системы, связанной с лифтом. Вертикальную ось Y направим вверх (рис. 4.9). Действующие на грузы силы изображены на этом рисунке. Кроме сил тяжести m₁ и m₂ и сил натяжения нитей ₁ и ₂, действуют силы инерции F_и1 = -m₁a и F_и2 = -m₂a.

Рис. 4.9

Так как нить и блок невесомые, то Т₁ = Т₂ = Т и на блок со стороны нити действует сила, равная 2Т, направленная вниз. Сила, действующая на блок со стороны динамометра, уравновешивает эту силу, поэтому показания динамометра равны 2Т.

Запишем уравнения движения грузов:

Здесь ₁ и ₂ — ускорения грузов относительно лифта. Очевидно, что ускорение ₁ направлено вверх, а ускорение ₂ направлено вниз, так как m₂ > m₁. Модули ускорений равны: а₁ = а₂ = а_от. При положительном направлении оси Y вверх

Уравнения (4.5.1) для модулей перепишутся так:

Решая эту систему уравнений, получим

Показания динамометра

Задача 2

На поверхности Земли на широте φ лежит груз массой m (рис. 4.10). Радиус Земли R₃. Найдите силу нормального давления груза на Землю (вес груза) и силу трения покоя. Угловая скорость вращения Земли ω.

Рис. 4.10

Решение. В системе отсчета, связанной с Землей, на груз действуют три обычные силы: сила притяжения к Земле, сила реакции опоры (она равна по модулю и противоположна по направлению силе нормального давления на Землю, т. е. весу тела) и сила трения покоя _тр (эта сила препятствует скольжению груза от полюса к экватору). Кроме того, действует центробежная сила инерции _и = mω²R, где R = R₃cos φ — радиус окружности, по которой движется груз вместе с Землей относительно инерциальной системы отсчета. Все силы изображены на рисунке 4.10.

Начало системы координат, связанной с Землей, совместим с центром тела; ось У направим перпендикулярно поверхности Земли, а ось X — по касательной к поверхности.

Тело находится относительно Земли в покое. Поэтому сумма всех сил, действующих на него, равна нулю:

В проекциях на оси У и X это уравнение запишется так:

Отсюда

Вес тела

Из этих формул видно, что на полюсах Земли (φ = 90°) Р = mg. Это означает, что вес тела и сила тяжести равны по модулю. Сила трения на полюсе равна нулю. На экваторе (φ = 0°) Р = mg - mω²R₃, т. е. вес меньше силы тяжести. Сила трения и на экваторе равна нулю. Максимальное значение сила трения имеет при φ = ± 45°, когда sin 2φ = 1.

Задача 3

Тело находится в покое на вершине наклонной плоскости (рис. 4.11). За какое время тело соскользнет с плоскости, если плоскость в момент времени t₀ = 0 начнет двигаться влево в горизонтальном направлении с ускорением а = 1 м/с²? Длина плоскости l = 1м, угол наклона к горизонту α = 30°, коэффициент трения между телом и плоскостью μ = 0,6.

Рис. 4.11

Решение. Координатные оси системы отсчета, связанной с плоскостью, направим вдоль плоскости и перпендикулярно ей (см. рис. 4.11). В этой системе отсчета, кроме силы тяжести m, силы реакции опоры и силы трения _тp, действует сила инерции _и.

Искомое время определится по формуле пути при равноускоренном движении без начальной скорости:

Здесь а_от — модуль ускорения тела относительно плоскости. Второй закон Ньютона в неинерциальной системе отсчета, связанной с плоскостью, запишется так:

где

Уравнения для модулей проекций на оси координат X и Y имеют вид

Учитывая, что F_тр = μN, из этой системы уравнений найдем ускорение а_от:

Следовательно,

Упражнение 9

1. Через блок перекинута нить, к концам которой подвешены грузы массами m₁ = 1,5 кг и m₂ = 0,5 кг (рис. 4.12). Ось блока движется с ускорением а = 4 м/с², направленным вниз. Найдите ускорения грузов относительно Земли.

   

   Рис. 4.12

2. В вагоне поезда, идущего со скоростью v = 72 км/ч по закруглению радиусом R = 400 м, производится взвешивание тела на пружинных весах. Определите показания весов, если масса тела m = 100 кг.

3. На экваторе планеты тела весят вдвое меньше, чем на полюсе. Определите период Т вращения планеты вокруг своей оси, рассматривая ее как однородный шар со средней плотностью вещества ρ = 3000 кг/м³.
4. Металлическая цепочка длиной l = 0,5 м, концы которой соединены, насажена на деревянный диск (рис. 4.13). Диск вращается с частотой n = 60 об/с. Масса цепочки m = 40 г. Определите силу натяжения Т цепочки.

   

   Рис. 4.13

5. Наклонная плоскость (рис. 4.14) с углом наклона α движется влево с ускорением . При каком значении ускорения тело, лежащее на наклонной плоскости, начнет подниматься вдоль плоскости? Коэффициент трения между телом и плоскостью равен μ.

   

   Рис. 4.14

6. Гладкая наклонная плоскость, образующая с горизонтом угол α (рис. 4.15), движется вправо с ускорением . На плоскости лежит брусок массой m, удерживаемый нитью АВ. Найдите силу натяжения Т нити и силу давления Р бруска на плоскость.

   

   Рис. 4.15