Учебник для 10 класса

ФИЗИКА

§ 3.17. Примеры решения задач

Опять решаем задачи по динамике, как и во второй главе. Новым здесь является лишь то, что мы будем теперь использовать известные зависимости сил от расстояний и скоростей.

Задача 1

Свинцовый шар радиусом R = 50 см имеет внутри сферическую полость радиусом г = 5 см, центр которой находится на расстоянии d = 40 см от центра шара (рис. 3.43).

С какой силой притягивается к шару материальная точка массой m = 10 г, находящаяся на расстоянии l = 80 см от центра шара, если линия, соединяющая центры шара и полости, составляет угол α = 60° с линией, соединяющей центр шара с материальной точкой? Плотность свинца ρ = 11,3 г/см³.

Рис. 3.43

Решение. Мысленно поместим в полость свинцовый шарик таких же размеров, как и полость, тогда свинцовый шар станет сплошным. Его масса М = , и сила тяготения между материальной точкой и сплошным шаром будет определяться формулой

Сила тяготения материальной точки и маленького шарика, помещенного в полость, равна

где m' = — масса маленького шарика, a s — расстояние между центром полости и материальной точкой.

Сила ₁ притяжения материальной точки к сплошному шару является геометрической суммой сил, с которыми материальная точка притягивается частями шара: шаром с полостью и маленьким шариком, помещенным в полость.

Если искомую силу обозначить через , то согласно рисунку 3.44 имеем

+ ₂ = ₁,

откуда

= ₁ - ₂.

Рис. 3.44

Модуль искомой силы можно найти, пользуясь теоремой косинусов:

Но для вычисления F необходимо предварительно определить s и cos β.

Из треугольника АСВ по теореме косинусов имеем:

s² = d² + l² - 2dlcos α.

Для того же треугольника на основании теоремы синусов(1) можно записать:

Отсюда

Теперь можно найти модуль искомой силы:

Заметим, что вычислительную часть задачи можно провести проще, если, пользуясь числовыми данными условия задачи, доказать, что Δ АВС прямоугольный, тогда s² = l² - d², а угол β = 30°.

Задача 2

Тело, размерами которого можно пренебречь, помещено внутрь тонкой однородной сферы. Докажите, что сила притяжения, действующая со стороны сферы на тело, равна нулю при любом положении тела внутри сферы.

Решение. Искомая сила притяжения является векторной суммой сил притяжения, создаваемых отдельными элементами сферы. Рассмотрим малые элементы σ₁ и σ₂ (рис. 3.45), вырезаемые из сферы конусами с вершиной в точке А (место нахождения маленького тела), которые получаются при вращении образующей ВС вокруг оси М₁М₂.

Рис. 3.45

Вычислим площади S_σ1 и S_σ2 этих элементов. Предварительно введем понятие телесного угла.

Внутри сферы радиусом R построим конус, вершина которого находится в центре сферы (рис. 3.46). Этот конус вырежет на сфере некоторую часть поверхности площадью S.

Рис. 3.46

Область пространства, ограниченную поверхностью конуса, называют телесным углом. Мерой телесного угла Ω. является отношение площади S к квадрату радиуса R сферы:

Чтобы вычислить площадь S_σ1 элемента σ₁ который вырезан на сфере с центром в точке О конусом с вершиной в точке А, построим сферу с центром в точке А радиусом AM₁. Этот конус на новой сфере вырежет элемент σ'₁ площадью S'₁ (рис. 3.47, а). Телесный угол, ограниченный конусом с вершиной в точке А, равен:

Отсюда

Рис. 3.47

Ввиду малости элементов σ₁ и σ'₁ их можно принять за плоские. Радиусы сфер ОМ₁ и АМ₁ являются нормалями к этим элементам. Поэтому двугранный угол(2) между элементами σ₁ и σ'₁ равен углу α ₁ между прямыми ОМ₁ и AM₁

Элемент σ'₁ является проекцией элемента(3) σ₁ на сферу с центром в точке А. Следовательно,

откуда

Аналогично площадь элемента σ₂ равна

Массы элементов σ₁ и σ₂ соответственно равны

где ρ — поверхностная плотность данной сферы (отношение массы сферы к ее площади); α₁ = α₂, так как треугольник М₁ОМ₂ равнобедренный.

Силы притяжения, создаваемые элементами, соответственно равны

где m — масса тела, находящегося в точке А. Они равны по модулю и направлены в противоположные стороны, поэтому их равнодействующая равна нулю.

Проводя аналогичные рассуждения для других элементов сферы, убеждаемся, что силы притяжения ими тела попарно компенсируются. Следовательно, сила притяжения, действующая со стороны сферы на помещенное внутри нее тело, равна нулю.

Заметим, что данный результат справедлив и для сферической оболочки конечной толщины, так как ее можно разбить на сколь угодно тонкие сферические оболочки, для каждой из которых справедливо доказанное выше утверждение.

Задача 3

Космический корабль движется вдали от планет, так что действием на него внешних гравитационных сил можно пренебречь. С какой силой F космонавт, масса которого т, будет давить на кресло во время работы двигателя, если двигатель сообщает кораблю такое же по модулю ускорение, какое сообщает телам сила тяжести вблизи поверхности Земли?

Решение. Согласно третьему закону Ньютона сила равна по модулю и противоположна по направлению силе реакции опоры , с которой кресло корабля действует на космонавта:

= -.

Силу можно найти по второму закону Ньютона, поскольку нам известны масса космонавта и его ускорение. Так как на космонавта действует только сила , то

m = .

Следовательно,

= -m.

Из этого равенства видно, что космонавт действует на кресло корабля с силой, направленной в сторону, противоположную направлению ускорения (рис. 3.48).

Так как а = g, то

F = mg.

Рис. 3.48

Мы пришли к любопытному результату: если космический корабль движется с ускорением, равным по модулю ускорению, которое сообщает телам сила тяжести вблизи поверхности Земли, то космонавт (или какой-нибудь другой предмет, находящийся в корабле) будет действовать на корабль с силой, равной его весу на Земле.

В ускоренно движущемся корабле тела начинают «весить». Ощущения космонавта будут вполне обычными. Он будет чувствовать себя как на Земле. Предметы, выпущенные из рук космонавта, будут двигаться относительно корабля так же, как если бы космонавт находился на Земле. В таком корабле все механические явления будут происходить точно так же, как на Земле. Если бы иллюминаторы в корабле были закрыты, то люди, находящиеся в нем, не могли бы определить, покоится он на Земле или движется в отсутствие сил тяготения с ускорением, равным по модулю ускорению свободного падения тел на Земле.

Что же произойдет, если выключить двигатель? В этом случае корабль будет двигаться относительно инерциальной системы отсчета равномерно и прямолинейно (а = 0) и, как это следует из формулы (3.11.4), тела перестанут действовать на корабль — перестанут весить. Наступит состояние невесомости(4).

Задача 4

На диске, который может вращаться вокруг вертикальной оси, лежит маленькая шайба массой m = 100 г. Шайба соединена с осью горизонтальной пружиной. Если число оборотов диска (частота вращения) не превышает n₁ = 2 об/с, пружина находится в нерастянутом состоянии. Если число оборотов диска медленно увеличивается до n₂ = 5 об/с, то пружина удлиняется вдвое. Определите коэффициент упругости (жесткость) пружины k.

Решение. При частоте вращения диска n₁ на шайбу действуют три силы: сила тяжести m, сила реакции опоры и максимальная сила трения покоя _тp, направленная к оси диска (рис. 3.49, а). Под действием этих сил шайба получает центростремительное ускорение, модуль которого

где l — длина нерастянутой пружины.

Рис. 3.49

Уравнение движения шайбы в этом случае имеет вид

Свяжем систему координат XOY с неподвижной осью диска (см. рис. 3.49, а). Спроецировав векторы, входящие в уравнение (3.17.2), на оси X и У, получим:

Так как F_тр = μN, то

При частоте вращения n₂ длина пружины становится равной 2l, и на шайбу будут уже действовать четыре силы (рис. 3.49, б): _упр = _тр, m и .

Уравнение движения шайбы теперь имеет такой вид:

а в проекциях на ось X:

где

Следовательно,

Из выражений (3.17.3) и (3.17.5) получим

Задача 5

Брусок массой М находится на гладкой горизонтальной поверхности, по которой он может двигаться без трения. На бруске лежит маленький кубик массой m (рис. 3.50, а). Коэффициент трения между кубиком и бруском равен μ. К кубику приложена горизонтальная сила . При каком минимальном значении Fmin силы начнется скольжение кубика по бруску? Через какое время кубик соскользнет с бруска? Длина бруска l.

Рис. 3.50

Решение. Двигаясь в горизонтальном направлении, кубик увлекает за собой брусок, вследствие того что между ними есть трение. Максимальная сила, с которой кубик может действовать на брусок в направлении движения, равна максимальной силе трения покоя. Эта сила сообщает бруску ускорение ₂.

На кубик действуют (рис. 3.50, б) сила тяжести m, сила тяги , сила реакции опоры ₁ и максимальная сила трения покоя _тр. Под действием этих сил кубик движется с ускорением ₁. При а₁ > а₂ кубик начнет обгонять брусок, скользя по его поверхности, пока не упадет с него.

Уравнение движения кубика в проекциях на горизонтальную ось имеет вид

Учитывая, что F_тр = μN₁ и N₁ = mg, будем иметь:

К бруску приложены сила тяжести M (рис. 3.50, в), сила реакции опоры ₂, сила нормального давления — ₁ и сила трения — _тр, действующая со стороны кубика в направлении движения и сообщающая бруску ускорение ₂.

Уравнение движения бруска в проекциях на горизонтальную ось имеет вид

Кубик скользит относительно бруска с ускорением а = а₁ - а₂. Из выражений (3.17.7) и (3.17.8) находим

Минимальное значение F_min силы определяется из условия: а = 0. Тогда

Расстояние, равное длине бруска I, кубик проходит за время

Следовательно,

Задача 6

На внутренней поверхности сферы радиусом R, вращающейся вокруг вертикальной оси, проходящей через центр сферы, с постоянной угловой скоростью ω, находится маленькая шайба (рис. 3.51). Считая угол а между осью вращения и радиусом О₁А, проведенным из центра сферы к шайбе, известным, найдите минимальное значение коэффициента трения, при котором шайба не соскользнет вниз.

Рис. 3.51

Решение. На шайбу действуют три силы: сила тяжести m, сила реакции со стороны сферы , направленная по радиусу к центру, и сила трения _тр, направленная по касательной к поверхности сферы и препятствующая скольжению шайбы вниз.

Шайба движется по окружности с центром в точке О₂, расположенной в горизонтальной плоскости. Радиус окружности

О₂А. = Rsin a.

Систему координат XOY свяжем с Землей. Ось X направим горизонтально так, чтобы в данный момент времени она совпадала с прямой АО₂, проходящей через шайбу, а ось У — вертикально вверх.

При равномерном вращении сферы шайба имеет лишь нормальное (центростремительное) ускорение а = ω²r = ω²Rsin a, направленное к точке О₂ по радиусу окружности АО₂.

По второму закону Ньютона

Запишем это уравнение в проекциях на ось Y:

или

Отсюда

Уравнение движения шайбы в проекциях на ось X запишется так:

Учитывая найденное выражение для модуля силы , будем иметь

Отсюда

Если ω²Rcos α > g, то μ ≤ 0. Это значит, что при достаточно большой угловой скорости вращения сферы шайба не соскользнет вниз и при отсутствии трения между шайбой и внутренней поверхностью сферы.

Задача 7

Стеклянный шарик, радиус которого r = 2,0 мм, падает в растворе глицерина. Определите установившуюся скорость и начальное ускорение шарика. Плотности стекла и раствора глицерина равны соответственно ρ = 2,53 • 10³ кг/м³ и ρ₀ = 1,21 • 10³ кг/м³. Считать, что при движении шарика в растворе глицерина на него со стороны раствора действует сила сопротивления (закон Стокса), где коэффициент μ = 5,02 • 10^-2 Па • с — вязкость раствора.

Решение. Уравнение движения шарика, падающего в растворе глицерина, в проекциях на вертикальную ось имеет вид

где m = — масса шарика, F_A = — архимедова сила, действующая на шарик со стороны раствора.

После подстановки в уравнение (3.17.10) значений входящих величин получим

Установившуюся скорость найдем из условия, что ускорение равно нулю:

Начальное ускорение получим из уравнения движения (3.17.11), полагая скорость равной нулю:

Упражнение 8

1. Среднее расстояние между центрами Земли и Луны равно 60 земным радиусам, а масса Луны в 81 раз меньше массы Земли. В какой точке прямой, соединяющей их центры, следует поместить тело, чтобы оно притягивалось к Земле и Луне с одинаковыми силами?
2. На какой глубине h от поверхности Земли ускорение свободного падения g_h = 9,7 м/с²? Радиус Земли R₃ = 6400 км. Ускорение свободного падения на географических полюсах Земли g₀ = 9,8 м/с². Считать Землю однородным шаром.
3. Радиус Луны R₁ приблизительно в 3,7 раза меньше, чем радиус Земли R, а масса Луны m₁ в 81 раз меньше массы Земли m. Каково ускорение свободного падения тел на поверхности Луны?
4. Каково ускорение свободного падения на высоте, равной радиусу Земли?
5. Спутник движется вокруг Земли на расстоянии Н от ее поверхности. Радиус Земли R₀ >> Н. Определите период обращения спутника. Орбиту считать круговой.
6. Два тела одинаковой массы соединены невесомой пружиной, жесткость которой k = 200 Н/м. Тела находятся на абсолютно гладкой горизонтальной поверхности. К одному из тел приложена горизонтальная сила (F = 20 Н). Определите удлинение Δl пружины.
7. Имеются две пружины, жесткости которых равны соответственно k₁ и k₂. Какова жесткость двух пружин, соединенных: а) параллельно; б) последовательно?
8. При помощи пружинного динамометра груз массой m = 10 кг движется с ускорением а = 5 м/с² по горизонтальной поверхности стола. Коэффициент трения груза о стол равен μ = 0,1. Найдите удлинение Δl пружины, если ее жесткость k = 2000 Н/м.
9. На горизонтальной вращающейся платформе на расстоянии R = 50 см от оси вращения лежит груз. Коэффициент трения груза о платформу μ = 0,05. При какой частоте вращения груз начнет скользить?
10. 3а какое время первоначально покоившееся тело соскользнет с наклонной плоскости высотой h = 3,0 м, наклоненной под углом α = 30° к горизонту, если при угле наклона плоскости к горизонту β = 10° оно движется равномерно?
11. Тело массой m = 20 кг тянут с силой F = 120 Н по горизонтальной поверхности. Если эта сила приложена под углом α₁ = 60° к горизонту, тело движется равномерно. С каким ускорением будет двигаться тело, если ту же силу приложить под углом α₂ = 30° к горизонту?
12. Наклонная плоскость составляет с горизонтом угол α = 30°. На плоскость положили тело и толкнули вверх. В течение времени t₁ = 0,7 с тело прошло расстояние l = 1,4 м, после чего начало соскальзывать вниз. Сколько времени длится соскальзывание до начального положения тела? Каков коэффициент трения тела о наклонную плоскость?

13. Цилиндрическая труба радиусом R = 1м катится по горизонтальной поверхности так, что ее ось перемещается с ускорением а = 4,9 м/с². Внутри трубы находится маленький кубик, коэффициент трения скольжения которого о внутреннюю поверхность трубы μ = 0,5. На какой высоте от горизонтальной поверхности, по которой катится труба, находится кубик? Толщиной стенок трубы пренебречь.
14. На гладком горизонтальном столе лежит брусок массой m₁ = 2 кг, на который положен второй брусок массой m₂ = 1 кг. Оба бруска соединены невесомой нитью, перекинутой через неподвижный блок (рис. 3.52). Какую силу надо приложить к нижнему бруску в горизонтальном направлении, чтобы он начал двигаться с постоянным ускорением а = ? Коэффициент трения между брусками μ = 0,5.

    

    Рис. 3.52

15. Как будет изменяться сила трения между доской и находящимся на ней бруском, если доску приподнимать за один из ее концов так, чтобы угол наклона с горизонтом изменялся от 0 до 90°? Начертите график зависимости модуля силы трения от угла наклона доски. Коэффициент трения μ известен.
16. Два шара одинакового размера, но разных масс m₁ и m₂ (m₁ > m₂) связаны нитью, длина которой много больше их радиусов. При помещении в жидкость эта система шаров тонет. Какая сила натяжения будет действовать на соединяющую шары нить при их установившемся падении в жидкости?

(1) cos β можно также найти, применяя теорему косинусов для стороны АВ треугольника АВС.

(2) Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой (рис. 3.47, б). Полуплоскости называются гранями, а ограничивающая их прямая АВ — ребром двугранного угла. Мерой двугранного угла является его линейный угол COD (СО ⊥ AB, DO ⊥ AB).

(3) Если каждую точку фигуры, расположенной в одной грани двугранного угла (например, прямоугольника AMNB), спроецировать на другую грань, то на этой грани получится фигура AM₁N₁B, называемая проекцией первой фигуры на вторую грань. Легко видеть, что площадь проекции равна площади проецируемой фигуры, умноженной на косинус угла между ними.

(4) Гравитационным взаимодействием между кораблем и телами, находящимися на корабле, а также между самими телами ввиду их малости можно пренебречь.