Учебник для 10 класса

ФИЗИКА

       

§ 1.31. Примеры решения задач

Из всех задач на относительность движения мы будем в основном решать такие, которые связаны с законом сложения скоростей (1.30.7) или (1.30.8). Для этого удобно использовать понятия абсолютного, относительного и переносного движений.

Решая задачу, следует выбрать две системы координат и одну из них условно принять за неподвижную, после чего уяснить, какая скорость будет абсолютной, переносной и относительной. Далее надо записать закон сложения скоростей (1.30.8). После этого можно переходить к записи этого закона в проекциях на выбранные направления осей координат. Но можно воспользоваться и геометрическим сложением векторов.

Мы рассмотрим несколько задач, причем в большинстве случаев приведем два решения с различным выбором неподвижной системы отсчета. При этом убедимся, что не имеет принципиального значения, какую систему считать неподвижной. Однако в некоторых случаях удачный выбор неподвижной системы отсчета упрощает решение (задача 5).

Задача 1

Участок шоссе расположен параллельно железной дороге. Найдите время, в течение которого мотоциклист, движущийся со скоростью v1 = 80 км/ч, будет перемещаться мимо встречного поезда длиной l = 700 м, следующего со скоростью v2 = 46 км/ч. Обе скорости заданы относительно Земли.

Решение. 1. Если мотоциклист движется относительно поезда с некоторой скоростью , то путь, равный длине поезда, он пройдет за время

Длина поезда известна. Скорость мотоциклиста относительно поезда найдем по закону сложения скоростей: а = от + п.

Неподвижную систему координат XOY свяжем с Землей, а подвижную X1O1Y1 — с поездом (рис. 1.95). Движение мотоциклиста относительно Земли (неподвижной системы координат XOY) является абсолютным, а движение поезда относительно Земли — переносным.

Рис. 1.95

Скорость мотоциклиста относительно поезда (подвижной системы координат X1O1Y1) является относительной. Следовательно, в данном случае: а = 1, n = 2 и от = . Поэтому закон сложения скоростей можно записать так:

1 = + 2.

Рис. 1.96

Отсюда = 1 — 2. Выполним вычитание векторов геометрически. Из рисунка 1.96 видно, что v = v1 + v2, поэтому

2. Решим ту же задачу, изменив выбор систем координат: неподвижную систему координат XOY свяжем с поездом, а подвижную X1O1Y1 — с Землей. Теперь в системе координат XOY Земля движется навстречу поезду со скоростью 3 = -2, т. е. переносная скорость n = -2 (рис. 1.97). Мотоциклист перемещается относительно подвижной системы координат (Земли). Поэтому его скорость в данном случае является относительной: от = 1. Скорость же мотоциклиста относительно системы координат XOY (поезда) — абсолютна, т. е. a = .

Рис. 1.97

Согласно закону сложения скоростей будем иметь a = от + n или = 1 - 2. Мы пришли к тому же результату, что и при первом способе выбора систем координат. Результат вычитания векторов опять такой же, как на рисунке 1.96. Поэтому = 1 + 2 и t = 20 с.

3. Можно неподвижную систему координат связать с мотоциклистом, а подвижную с Землей. Рассмотрите самостоятельно этот вариант решения. Безусловно, вы придете к тому же результату.

Задача 2

Капли дождя падают относительно Земли отвесно со скоростью v1 = 20 м/с. С какой наименьшей скоростью v2 относительно Земли должен двигаться автомобиль, чтобы на заднем смотровом стекле, наклоненном под углом 45° к горизонту, не оставалось следов капель? Чему равна скорость капель относительно автомобиля? Завихрения воздуха не учитывать.

Решение. 1. Капли дождя не будут задевать стекла автомобиля, если вектор скорости капель относительно автомобиля направлен параллельно стеклу. Этим определяется минимальная скорость автомобиля. Чтобы найти ее, воспользуемся законом сложения скоростей:

Систему координат XOY свяжем с Землей и будем считать ее неподвижной. Движущуюся систему координат X1O1Y1 свяжем с автомобилем (рис. 1.98).

Рис. 1.98

Обозначим скорость капель относительно автомобиля через . Тогда

Следовательно, закон сложения скоростей запишется так:

Отсюда

Вычитание векторов 1 и 2 показано на рисунке 1.98 (Δ АВС). Поскольку треугольник АВС — прямоугольный и ∠ АВС = а, то v = и = 2 = 1 ctg a; v = ≈ 28 м/с и v2 = v1 = 20 м/с.

2. Решим эту задачу, связав неподвижную систему координат XOY с автомобилем, а подвижную X1O1Y1 — с Землей (рис. 1.99). В этом случае относительно системы координат XOY Земля движется навстречу автомобилю со скоростью 1 = -2. Так как а = , п = -2, от = 1, то закон сложения скоростей запишется следующим образом:

= 1 + (-2).

Рис. 1.99

Сложение векторов 1 и 3 = -2 показано на рисунке 1.99.

Мы пришли к тому же результату, что и при первом способе решения задачи:

у2 = v1 = 20 м/с и v ≈ 28 м/с.

Задача 3

Два корабля идут пересекающимися курсами. В некоторый момент времени расстояние между ними l = 10 км, а скорости 1 и 2 образовывали с прямой, соединяющей корабли, углы α = 45° (рис. 1.100). На каком минимальном расстоянии друг от друга пройдут корабли? Модули скоростей кораблей относительно воды v1 = 60 км/ч, v2 = 80 км/ч. Считайте, что морские течения отсутствуют.

Рис. 1.100

Решение. Пусть в начальный момент времени первый корабль находился в точке А, а второй — в точке В (рис. 1.101).

Рис. 1.101

Перейдем в систему координат, связанную с первым кораблем. Тогда скорость воды относительно этой системы п = —1 является переносной скоростью, а скорость второго корабля относительно воды есть относительная скорость от = 2. Скорость второго корабля относительно первого при данном выборе системы отсчета будет абсолютной скоростью a. По закону сложения скоростей a = от + п или a = 2 + (-1) (см. рис. 1.101). Прямая ВК — траектория второго корабля в системе отсчета, связанной с первым («неподвижным») кораблем. Кратчайшим расстоянием между кораблями будет длина перпендикуляра АС, опущенного из точки А на прямую ВК.

Из прямоугольного треугольника, образованного векторами скоростей, находим модуль скорости a по теореме Пифагора:

Дальнейшее решение задачи является чисто геометрическим. Треугольник ADB прямоугольный и равнобедренный.

Найдем длину его катета: AD = DB = . Из подобия треугольников BMN и BPD найдем PD = . Вычислим длину отрезка АР = AD - PD = , где vп = v1.

Из подобия треугольников АРС и BMN находим искомое расстояние d = АС:

Проанализируем различные частные случаи. Если v2 = v1 то d = 0; корабли встретятся в точке D. Если относительно воды движется только один корабль (v1 = 0 или v2 = 0), то d = = AD.

Найти расстояние d можно из Δ ACB: d = lsin ∠ СВА, где ∠ СBA ≈ 8°. Действительно, из Δ NBM находим sin ∠ NBM = = 0,6. Отсюда ∠ NBM = 37°. Так как ∠ СВA = 45° - 37° = 8°, то

d = 10 км • sin 8° ≈ 1,4 км.

Задача 4

Вагон А движется по закруглению радиусом ОхА = 0,3 км, а вагон В — прямолинейно (рис. 1.102, а). Найдите скорость вагона В относительно вагона А в момент, когда расстояние АВ = 0,1 км. Скорость каждого вагона относительно Земли равна 60 км/ч.

Решение. Так как необходимо найти скорость вагона В относительно вагона А, то целесообразно (но необязательно) связывать с вагоном А неподвижную систему координат XOY. В этой системе вагон А не движется, но поверхность Земли под ним поворачивается по часовой стрелке вокруг точки О1 с угловой скоростью ω (рис. 1.102, б).

Рис. 1.102

Систему координат X1O1Y1 свяжем с Землей. Эта система координат вращается вместе с поверхностью Земли с угловой скоростью со вокруг точки О1.

Угловую скорость ω определим по движению вагона А относительно Земли: vA = ω • О1А. Отсюда ω = .

При вращательном движении подвижной системы координат переносная скорость в каждый момент времени является той линейной скоростью, которую в данной точке пространства имеет вращающаяся система координат, связанная с Землей. Для вагона В переносной скоростью п является скорость точки оси Х1 на расстоянии О1В от точки О1. Найдем модуль этой скорости:

Скорость вагона В относительно поверхности Земли (относительно подвижной системы координат X1O1Y1) B = от (vB = vA по условию), но по отношению к вагону А (неподвижной системе координат XOY) скорость вагона В является абсолютной. Эту скорость мы найдем по закону сложения скоростей:

a = от + п.

Сложение скоростей выполнено на рисунке 102, е. Из рисунка видно, что вагон В относительно вагона А движется в сторону, противоположную скорости вагона В относительно Земли, со скоростью a, модуль которой равен

Задача 5

Вверх по реке на весельной лодке плывет рыбак. Проплывая под мостом, он уронил удочку, но заметил это лишь полчаса спустя. Рыбак повернул назад и нагнал удочку на расстоянии 1,5 км от моста. Чему равна скорость течения реки, если рыбак греб одинаково интенсивно как при движении вверх (против течения), так и при движении вниз (по течению)?

Решение. 1. Решим задачу, выбрав в качестве неподвижной систему отсчета, связанную с берегом. Подвижную систему свяжем с водой. Скорость этой системы является переносной, а скорость лодки относительно воды (подвижной системы) — относительной. Модуль этой скорости одинаков при движении лодки в любом направлении. Модуль абсолютной скорости при движении лодки против течения v'a = vот - vп, а по течению vа = vот + vп.

Ось X направим по течению, начало координат совместим с мостом (рис. 1.103). Скорость удочки равна скорости течения реки vп. Спустя время t удочка совершит перемещение АВ и будет иметь координату х2 = vпt, где х2 = 1,5 км.

Рис. 1.103

Обозначим через t1 = 0,5 ч время движения лодки от моста до поворота (точка С). Координату этой точки обозначим х1. Через t2 обозначим время движения лодки по течению от точки С до точки D. Тогда

Запишем выражение для координаты х1:

Уравнение координаты лодки х2 при ее движении по течению имеет вид

Подставив это выражение в (1.31.1) и учитывая, что t = ,

2. Решение задачи будет значительно проще, если в качестве неподвижной системы выбрать систему отсчета, связанную с водой. В этой системе модуль скорости лодки при движении по всем направлениям одинаков, так как рыбак работает веслами все время одинаково. Поэтому если рыбак 0,5 ч удаляется от удочки, то и догонять ее он будет 0,5 ч. Следовательно, удочка была в движении 1 ч и проплыла 1,5 км относительно берега. Поэтому скорость течения воды относительно берега равна 1,5 км/ч.

Упражнение 6

  1. Два автобуса движутся в одном направлении. Модули их скоростей соответственно равны 90 и 60 км/ч. Чему равна скорость первого автобуса относительно второго и второго относительно первого?
  2. По двум параллельным железнодорожным путям навстречу друг ДРУгу движутся два поезда со скоростями 72 и 108 км/ч. Длина первого поезда 800 м, а второго 200 м. В течение какого времени один поезд проходит мимо другого?
  3. Скорость течения реки v1 = 1,5 м/с. Каков модуль скорости v катера относительно воды, если катер движется перпендикулярно к берегу со скоростью v2 = 2 м/с относительно него?
  4. Какую скорость относительно воды должен сообщить мотор катеру, чтобы при скорости течения реки, равной 2 м/с, катер двигался перпендикулярно берегу со скоростью 3,5 м/с относительно берега?
  5. Капли дождя падают относительно Земли отвесно со скоростью 30 м/с. С какой наименьшей скоростью относительно Земли должен ехать автомобиль, чтобы на заднем смотровом стекле, наклоненном под углом 60° к горизонту, не оставалось следов капель? Завихрения воздуха не учитывать.
  6. Эскалатор метро спускает идущего по нему человека за 1 мин. Если человек будет идти вдвое быстрее, то он спустится за 45 с. Сколько времени будет спускаться человек, стоящий на эскалаторе?
  7. Гусеничный трактор движется со скоростью 72 км/ч относительно Земли. Чему равны относительно Земли модули скоростей: а) верхней части гусеницы; б) нижней части гусеницы; в) части гусеницы, которая в данный момент движется вертикально по отношению к трактору?
  8. Человек спускается по эскалатору. В первый раз он насчитал 50 ступенек. Во второй раз, двигаясь со скоростью вдвое большей, он насчитал 75 ступенек. В какую сторону движется эскалатор? Сколько ступенек насчитает человек, спускаясь по неподвижному эскалатору?
  9. Теплоход от Нижнего Новгорода до Астрахани плывет 5 сут, а обратно 7 сут. Сколько времени от Нижнего Новгорода до Астрахани плывет плот?
  10. Скорость течения реки возрастает пропорционально расстоянию от берега, достигая своего максимального значения v0 = 5 м/с на середине реки. У берегов скорость течения равна нулю. Лодка движется по реке так, что ее скорость относительно воды постоянна, равна по модулю u = 10 м/с и направлена перпендикулярно течению. Найдите расстояние, на которое будет снесена лодка при переправе, если ширина реки d = 100 м. Определите траекторию лодки.
  1. Скорость течения реки возрастает с расстоянием от берега, достигая своего максимального значения v0 = 5 м/с на середине реки. У берегов скорость течения равна нулю. От берега начинает плыть спортсмен со скоростью v = 4 м/с относительно воды, направленной перпендикулярно течению. Стоявшая на середине реки на якоре лодка начинает двигаться параллельно берегу с постоянной относительно воды скоростью u = 10 м/с одновременно с пловцом. На каком расстоянии от места встречи с пловцом находилась первоначально лодка, если ширина реки h = 100 м?
  2. Платформа движется со скоростью v1 = 40 м/с. В момент, когда она пересекала прямую линию ОМ, перпендикулярную направлению движения (рис. 1.104), с платформы был произведен выстрел по неподвижной цели М. Зная, что скорость пули относительно платформы v2 = 800 м/с, найдите направление, в котором был произведен выстрел.

    Рис. 1.104

  3. Круглая горизонтальная платформа вращается вокруг своей оси с угловой скоростью 2 рад/с (рис. 1.105). Кубик М движется со скоростью 9 м/с в направлении МО. В некоторый момент времени расстояние МО = 6 м. Найдите скорость кубика относительно наблюдателя, стоящего в центре платформы в этот момент времени.

    Рис. 1.105

  4. Шоссейные дороги пересекаются под прямым углом. По дорогам движутся автомобили со скоростями 1 и 2 в направлении к перекрестку (v1 > v2). В некоторый момент времени расстояние обоих автомобилей до перекрестка было одинаковым и равным l. На каком наименьшем расстоянии d автомобили прошли относительно друг друга?
  5. Человек на лодке должен попасть из точки А в точку В, находящуюся на противоположном берегу реки (рис. 1.106). Расстояние ВС = а. Ширина реки АС = b. С какой наименьшей скоростью и относительно воды должна плыть лодка, чтобы попасть в точку В? Скорость течения реки постоянна и равна v.

    Рис. 1.106

  6. Лифт движется с ускорением , направленным вверх. Человек, находящийся в лифте, роняет книгу. Чему равно ускорение книги относительно лифта? Решите задачу также для случая, когда ускорение лифта направлено вниз.

 

 

 

Top.Mail.Ru
Top.Mail.Ru