|
|
Учебник для 10 класса ФИЗИКА§ 1.28. Угловая скорость и угловое ускорение
Угловая скоростьПроведем координатную ось X через центр окружности (начало координат), вдоль которой движется точка (рис. 1.86). Тогда положение точки А на окружности в любой момент времени однозначно определяется углом φ между осью X и радиусом-вектором , проведенным из центра окружности к движущейся точке. Углы будем выражать в радианах(1).
Рис. 1.86 При движении точки угол φ изменяется. Обозначим изменение угла за время Δt через Δφ. Для нахождения положения точки в любой момент времени надо знать угол φ0 в начальный момент времени t0 и определить, на сколько изменился угол за время движения (рис. 1.87): φ = φ0 + Δφ. (1.28.1)
Рис. 1.87 Пусть точка движется по окружности с постоянной по модулю скоростью. Тогда за любые равные промежутки времени радиус-вектор поворачивается на одинаковые углы. Быстрота обращения точки определяется углом поворота радиуса-вектора за данный интервал времени. Например, если радиус-вектор точки за каждую секунду поворачивается на угол 90° = , а другой точки — на угол 45 = , то мы говорим, что первая точка обращается быстрее второй в два раза. Если при равномерном обращении за время Δt радиус-вектор повернулся на угол Δφ, то быстрота обращения определится углом поворота в единицу времени. Быстроту обращения характеризуют угловой скоростью. Угловой скоростью при равномерном движении точки по окружности называется отношение угла Δφ поворота радиуса-вектора к промежутку времени Δt, за который этот поворот произошел. Обозначим угловую скорость греческой буквой ω (омега). Тогда по определению(2)
В СИ(3) угловая скорость выражается в радианах в секунду (рад/с). Радиан в секунду равен угловой скорости равномерно обращающейся точки, при которой за время 1 с радиус-вектор этой точки поворачивается на угол 1 рад. Например, угловая скорость точки земной поверхности равна 0,0000727 рад/с, а точильного диска более 100 рад/с. Угловую скорость можно выразить через частоту обращения, т. е. число оборотов за 1с. Если точка делает п оборотов в секунду, то время одного оборота равно . Это время называют периодом обращенияи обозначают буквой Т. Таким образом, частота и период обращения связаны следующим соотношением: T = . (1.28.3) Полному обороту точки на окружности соответствует угол Δφ = 2π. Поэтому, согласно формуле (1.28.2),
Частота обращения точек рабочих колес мощных гидротурбин составляет 1—10 с-1, винта вертолета — 4—6 с-1, ротора газовой турбины — 200—300 с-1. Если при равномерном обращении точки угловая скорость известна, то можно найти изменение угла поворота Δφ за время Δt. Оно равно Δφ = ωΔt. С учетом этого формула (1.28.1) примет вид: φ = φ0 + ωΔt. Приняв начальный момент времени t0 равным нулю, получим, что Δt = t - t0 = t. Тогда угол поворота равен
По этой формуле можно найти положение точки на окружности в любой момент времени. Угловое ускорениеВ случае переменной угловой скорости вводится новая физическая величина, характеризующая быстроту ее изменения, — угловое ускорение:
Угловое ускорение равно производной угловой скорости по времени. Если β = const, то ω(t) = ω0 + β(t - t0), где ω0 — угловая скорость в начальный момент времени t0. При t0 = 0
Эта формула подобна формуле проекции скорости vx = v0x + axt при прямолинейном движении точки. Соответственно угол поворота
Эту формулу можно получить точно таким же способом, как и уравнение координаты при прямолинейном движении х = Связь между линейной и угловой скоростямиСкорость точки, движущейся по окружности, часто называют линейной скоростью, чтобы подчеркнуть ее отличие от угловой скорости. Между линейной скоростью точки, обращающейся по окружности, и ее угловой скоростью существует связь. При равномерном движении точки по любой траектории модуль скорости равен отношению пути s ко времени Δt, за которое этот путь пройден. Точка А, движущаяся по окружноcти радиусом R, за время Δt проходит путь, равный длине дуги (рис. 1.88): s = = ΔφR. Модуль линейной скорости движения
Рис. 1.88 Итак, модуль линейной скорости точки, движущейся по окружности, равен произведению угловой скорости на радиус окружности:
Эта формула справедлива как для равномерного, так и для неравномерного движения точки по окружности. Из выражения (1.28.9) видно, что чем больше радиус окружности, тем больше линейная скорость точки. Для точек земного экватора v = 463 м/с, а на широте Санкт-Петербурга — 233 м/с. На полюсах Земли v = 0. Модуль ускорения точки, движущейся равномерно по окружности (центростремительное, или нормальное, ускорение) можно выразить через угловую скорость тела и радиус окружности. Так как а = = и v = ωR, то
Чем больше радиус окружности, тем большее по модулю ускорение имеет точка при заданной угловой скорости. Ускорение любой точки поверхности Земли на экваторе составляет 3,4 см/с2. Связь линейного ускорения с угловымС изменением угловой скорости точки меняется и ее линейная скорость. Нормальное ускорение связано согласно формуле (1.28.10) с угловой скоростью и не зависит, следовательно, от углового ускорения. Но тангенциальное ускорение, определяемое формулой (1.27.4), выражается через угловое ускорение:
Мы научились полностью описывать движение точки по окружности. При фиксированном радиусе окружности модуль скорости (линейная скорость) пропорционален угловой скорости, а нормальное ускорение пропорционально ее квадрату. Тангенциальное ускорение пропорционально угловому ускорению. Упражнение 5
(1) Напомним, что радиан равен центральному углу, опирающемуся на дугу, длина которой равна радиусу окружности. 1 рад приблизительно равен 57°17'48". В радианной мере угол равен отношению длины дуги окружности к ее радиусу: . (2) Когда точка движется неравномерно, то мгновенная угловая скорость определяется как предел отношения Δφ к Δt при условии, что Δt —> 0: (3) СИ — Международная система единиц. В этой системе за единицу длины принят 1 м, за единицу времени — 1с. Подробнее о СИ будет рассказано в дальнейшем.
|
|
|